Resum Sistemes d'equacions: Matriu inversa

11. Matriu inversa

Calculem la inversa de la matriu

$bold italic A gras égal à ouvrir la parenthèse table ligne gras 2 cellule gras moins gras 1 fin de cellule ligne gras 1 gras 3 fin de table fermer la parenthèse$

Ho fem de 3 maneres diferents.

(Per matrius 3x3 seria similar però quedarà una mica més llarg d'operacions)

- Utilitzant el determinant i els adjunts de la transposada.

Calcular la inversa de $A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse$

Calculem el determinant $trait vertical ouvert(e) A trait vertical fermé(e) égal à 2 fois 3 moins 1 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite égal à 6 plus 1 égal à 7$

Considerem la transposada de la matriu A: $A puissance t égal à ouvrir la parenthèse table ligne 2 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule 3 fin de table fermer la parenthèse$

i la matriu d'adjunts de $A puissance t$ :

$ouvrir la parenthèse table ligne 3 cellule moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fin de cellule ligne cellule moins 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse$

Per tant:

$A puissance moins 1 fin de l'exposant égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne 3 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse$

· Plantejant un sistema d'equacions:

Calcular la inversa de $A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse$

Volem una matriu X tal que $A fois X égal à I$

És a dir:

$ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse table ligne a b ligne c d fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fermer la parenthèse$

$ouvrir la parenthèse table ligne cellule 2 a moins c fin de cellule cellule 2 b moins d fin de cellule ligne cellule a plus 3 c fin de cellule cellule b plus 3 d fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace espace début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 2 a moins c égal à 1 fin de cellule ligne cellule a plus 3 c égal à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 6 a moins 3 c égal à 3 fin de cellule ligne cellule a plus 3 c égal à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace espace espace double flèche vers la droite espace espace 7 a égal à 3 espace espace espace double flèche vers la droite espace a égal à 3 sur 7 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 3 c égal à moins a égal à moins 3 sur 7 espace espace double flèche vers la droite espace espace c égal à moins numérateur de la fraction 3 au-dessus du dénominateur 3 fois 7 fin de la fraction égal à moins 1 sur 7$

$ouvrir la parenthèse table ligne cellule 2 a moins c fin de cellule cellule 2 b moins d fin de cellule ligne cellule a plus 3 c fin de cellule cellule b plus 3 d fin de cellule fin de table fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace espace début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 2 b moins d égal à 0 fin de cellule ligne cellule b plus 3 d égal à 1 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 6 b moins 3 d égal à 0 fin de cellule ligne cellule b plus 3 d égal à 1 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace espace espace double flèche vers la droite espace espace 7 b égal à 1 espace espace espace double flèche vers la droite espace b égal à 1 sur 7 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 3 d égal à 1 moins b égal à 1 moins 1 sur 7 espace égal à 6 sur 7 espace double flèche vers la droite espace espace d égal à numérateur de la fraction 6 au-dessus du dénominateur 3 fois 7 fin de la fraction égal à 2 sur 7$

Per tant:

$A puissance moins 1 fin de l'exposant égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne 3 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse$

· Pel mètode de Gauss-Jordan

Calcular la inversa de $A égal à ouvrir la parenthèse table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fermer la parenthèse$

De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial.

Es tracta de plantejar la matriu ampliada formada per la matriu i la matriu identitat. És a dir:

Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat: $ouvrir la parenthèse table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fermer la parenthèse$

$ouvrir la parenthèse table ligne cellule table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 1 3 fin de table fin de cellule cellule trait à gauche englobant espace table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fin fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace flèche vers la droite espace espace ouvrir la parenthèse table ligne cellule table ligne 2 cellule moins 1 fin de cellule ligne 0 cellule moins 7 fin de cellule fin de table fin de cellule cellule trait à gauche englobant espace table ligne 1 0 ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule fin de table fin fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace flèche vers la droite espace espace ouvrir la parenthèse table ligne cellule table ligne cellule moins 14 fin de cellule 0 ligne 0 cellule moins 7 fin de cellule fin de table fin de cellule cellule trait à gauche englobant espace table ligne cellule moins 6 fin de cellule cellule moins 2 fin de cellule ligne 1 cellule moins 2 fin de cellule fin de table fin fin de cellule fin de table fermer la parenthèse espace espace flèche vers la droite espace espace ouvrir la parenthèse table ligne cellule table ligne 1 0 ligne 0 1 fin de table fin de cellule cellule trait à gauche englobant espace table ligne cellule 3 divisé par 7 fin de cellule cellule 1 divisé par 7 fin de cellule ligne cellule moins 1 divisé par 7 fin de cellule cellule 2 divisé par 7 fin de cellule fin de table fin fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

Per tant:

$A puissance moins 1 fin de l'exposant égal à 1 sur 7 ouvrir la parenthèse table ligne 3 1 ligne cellule moins 1 fin de cellule 2 fin de table fermer la parenthèse$

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