R4.1. Funcions lineal, afí i de proporcionalitat inversa: La funció lineal

Mercat La funció lineal (o de proporcionalitat) ens servirà per estudiar i analitzar situacions en les quals tenim dues variables directament proporcionals. Per exemple, l’espai que recorre un vehicle i el temps que triga a fer-ho, els litres que surten d’una aixeta al llarg del temps que roman oberta, els euros que costen els kilograms d’un producte, etc.

Imatge de Pexels a Pixabay

La funció lineal és del tipus y = m·x, on m s'anomena pendent. La variable x és la variable independent mentre que la y és la variable dependent perquè un cop donat un valor a la x el valor de la y està fixat a través de l'expressió de la funció.

Exemples: y=2x (on m=2); y=5x (m=5); y=-3x (m=-3).

Anem a fer la representació gràfica de les funcions d'exemple anteriors.

Primer cal fer una taula de valors per cadascuna d'elles. Prendrem com a valors de x des de -2 fins a 2 així ens sortirà la gràfica centrada en l'origen de coordenades. Posarem les tres taules juntes per evitar repeticions:

*Taules de valors*
x	y=2x	y=5x	y=-3x
-2	2·(-2)=-4	5·(-2)=-10	6
-1	2·(-1)=-2	-5	3
0	2·0=0	0	0
1	2·1=2	5	-3
2	2·2=4	10	-6

Si portem tots aquests punts a una gràfica, per cada funció trobem:

Veiem en vermell la gràfica de y=2x, en verd la de y=5x i en blau de y=-3x (fes clic en la imatge per a fer-la gran).

De les gràfiques podem treure les principals característiques d'aquest tipus de funcions:

Totes les gràfiques són línies rectes.
Totes passen per l'origen de coordenades (0,0).
Si el pendent m és positiu, la recta creix (sempre ens ho mirem anant d'esquerra a dreta que és el sentit de creixement de x). Si el pendent és negatiu, la recta decreix.
Com més gran és el pendent en valor absolut més creix o decreix la recta.

Verifiqueu aquestes propietats en les gràfiques.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Recuperem la gràfica de la funció anterior y=2x:

Tenim dos punts ben definits de la recta A i B i mesurem el desplaçament horitzontal i vertical per anar des del primer (el que està més a l'esquerra) fins al segon (més a la dreta).
Veiem que ens hem desplaçat 1 unitat a la dreta i 2 unitats amunt. Llavors el pendent és el quocient del desplaçament vertical entre l'horitzontal $m= \dfrac{2}{1}=2$ .

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Si fem el mateix en el cas de la funció anterior y=-3x veurem que ens desplacem 1 a la dreta i 3 cap a baix, per tant, negatius. Llavors el pendent serà $m= \dfrac{-3}{1}=-3$ .