R4.1. Funcions lineal, afí i de proporcionalitat inversa

La funció lineal (o de proporcionalitat) ens servirà per estudiar i analitzar situacions en les quals tenim dues variables directament proporcionals. Per exemple, l’espai que recorre un vehicle i el temps que triga a fer-ho, els litres que surten d’una aixeta al llarg del temps que roman oberta, els euros que costen els kilograms d’un producte, etc.

Imatge de Pexels a Pixabay

La funció lineal és del tipus y = m·x, on m s'anomena pendent. La variable x és la variable independent mentre que la y és la variable dependent perquè un cop donat un valor a la x el valor de la y està fixat a través de l'expressió de la funció.

Exemples: y=2x (on m=2); y=5x (m=5); y=-3x (m=-3).

Anem a fer la representació gràfica de les funcions d'exemple anteriors.

Primer cal fer una taula de valors per cadascuna d'elles. Prendrem com a valors de x des de -2 fins a 2 així ens sortirà la gràfica centrada en l'origen de coordenades. Posarem les tres taules juntes per evitar repeticions:

Si portem tots aquests punts a una gràfica, per cada funció trobem:

Veiem en vermell la gràfica de y=2x, en verd la de y=5x i en blau de y=-3x (fes clic en la imatge per a fer-la gran).

De les gràfiques podem treure les principals característiques d'aquest tipus de funcions:

• Totes les gràfiques són línies rectes.
• Totes passen per l'origen de coordenades (0,0).
• Si el pendent m és positiu, la recta creix (sempre ens ho mirem anant d'esquerra a dreta que és el sentit de creixement de x). Si el pendent és negatiu, la recta decreix.
• Com més gran és el pendent en valor absolut més creix o decreix la recta.

Verifiqueu aquestes propietats en les gràfiques.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Recuperem la gràfica de la funció anterior y=2x:

Tenim dos punts ben definits de la recta A i B i mesurem el desplaçament horitzontal i vertical per anar des del primer (el que està més a l'esquerra) fins al segon (més a la dreta).
Veiem que ens hem desplaçat 1 unitat a la dreta i 2 unitats amunt. Llavors el pendent és el quocient del desplaçament vertical entre l'horitzontal $m= \dfrac{2}{1}=2$.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Si fem el mateix en el cas de la funció anterior y=-3x veurem que ens desplacem 1 a la dreta i 3 cap a baix, per tant, negatius. Llavors el pendent serà $m= \dfrac{-3}{1}=-3$.

Un altre cas amb pendent fraccionari negatiu seria $y=\dfrac{-3}{4}·x$. Podem veure la gràfica del pendent en la imatge següent:

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer part de l'activitat A4.1. Taula i gràfica funcions lineals.

La funció afí és similar a la funció lineal amb la diferència que la funció afí no passa per l'origen de coordenades. En aquest cas quan x pren el valor zero y no val zero també. Ens trobarem exemples de funcions afins habitualment en les factures de consums (electricitat, aigua, gas...) on tenim un concepte fix a pagar al qual s'afegeix una quantitat variable que depèn del consum que hàgim fet.

Imatge lliure de Piqsels

La funció afí és del tipus y = m·x + n, on m és el pendent (igual que en la funció lineal) i n és l'ordenada a l'origen.

Exemples: y=2x+3 (on m=2 i n=3); y=5x-1 (m=5 i n=-1); y=-3x+4 (m=-3 i n=4).

Com abans fem les taules dels exemples anteriors per, després, fer-ne les gràfiques.

Les gràfiques corresponents:

Veiem en vermell la gràfica de y=2x+3, en verd la de y=5x-1 i en blau de y=-3x+4 (fes clic en la imatge per a fer-la gran). En cada cas, la gràfica ja no passa per l'origen de coordenades sinó que tallen l'eix OY (eix d'ordenades) en el punt indicat per l'ordenada a l'origen (d'aquí el nom).

De les gràfiques podem treure les principals característiques d'aquest tipus de funcions:

• Totes les gràfiques són línies rectes.
• Totes tallen l'eix d'ordenades en el punt n, ordenada a l'origen.
• Respecte al pendent les mateixes característiques que la funció lineal.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer part de l'activitat A4.2. Taula i gràfica funcions afins.

Per trobar l'expressió d'una recta si coneixem un punt A=(x₀,y₀) i el pendent m de la recta podem fer servir l'expressió punt-pendent següent:

$y=y_0+m·(x-x_0)$

Exemple a partir de la gràfica següent:

En aquest cas tenim el punt A=(3,4) i trobem el pendent a partir del desplaçament entre els punts A i B com s'ha explicat en la pàgina de la funció lineal: $m= \dfrac{5}{3}$. Llavors, substituint en la fórmula anterior, tindrem l'equació punt-pendent:
$y=4+\dfrac{5}{3}(x-3)$.
Si arreglem aquesta expressió traient parèntesi i calculant, arribarem a l'equació general:
$y=\dfrac{5}{3}x-1$.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts trobareu exercicis en diverses activitats del tema.

La funció de proporcionalitat inversa és totalment diferent de les dues anteriors. Aquesta ens servirà per estudiar i representar situacions com: la velocitat d’un vehicle i el temps que triga a fer un determinat recorregut, el temps que un nombre de treballadors tarden a fer una construcció determinada, el cabal d'aigua que omple un dipòsit i el temps que triga a fer-ho... Situacions en les quals quan una magnitud creix l'altra decreix i a l'inrevés. Les dues magnituds "funcionen de forma inversa".

Imatge de Shutterbug75 a Pixabay

La funció de proporcionalitat inversa és del tipus $y=\dfrac{a}{x}$, on a es un nombre positiu.

Exemples: $y=\dfrac{2}{x}$; $y=\dfrac{1}{x}$; $y=\dfrac{5}{x}$.

Com en els casos anteriors farem la taula de valors i la gràfica. Aquest cop només dels dos primers exemples de dalt, suficients per veure les característiques de la funció. Cal tenir en compte que aquest tipus de funció no es pot calcular per zero donat que no és possible dividir per zero. Per altra banda, ens interessa aquest tipus de funció per a valors positius de la variable independent. Per tant, a l'hora de fer la taula de valors prendrem nombres positius només tal com veiem a sota:

Si portem tots aquests punts a una gràfica, per cada funció trobem:

Veiem en vermell la gràfica de y=2/x, en verd la de y=1/x.

De les gràfiques podem treure les principals característiques d'aquest tipus de funcions:

• La gràfica s'anomena hipèrbola.
  
• Sempre són decreixents.
• Com més gran és el valor "a" la funció decreix de forma més suau.
  
• Quan x s'aproxima a zero la funció es fa molt gran i quan la x es fa molt gran la funció es fa gairebé zero.

Verifiqueu aquestes propietats en les gràfiques.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer part de l'activitat A4.5. Vehicle en moviment.