Llibre d'equacions: Mètode de reducció.

Mètode de reducció

Multiplicarem tots els termes d'una o les dues equacions per algun nombre fins a aconseguir que que les dues equacions tinguin un terme oposat (canviat de signe). És a dir que els coeficients de les x o bé de les y a les dues equacions siguin iguals però amb signes canviats.
Un cop aconseguit haurem de sumar les dues equacions amb l'objectiu que desaparegui una de les incògnites.
Ens quedarà una equació amb una sola incògnita que resoldrem pels mètodes habituals.
Substituirem a una de les equacions inicials el valor ja trobat per aïllar l'altra incògnita.

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta 3 negreta y negreta igual negreta menys negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta 4 negreta x negreta més negreta espai negreta y negreta igual negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta 3 fi cel·la fi taula tanca claus$

El primer que ens hem de plantejar és quin terme volem fer canviat de signe. El terme el tries tu , procurant que sigui fàcil, però que quedi clar que podries començar de diferents maneres.

Per exemple: volem que els termes de les x siguin oposats. Què hem de fer? A la primera equació el coeficient de la x és un 2 i a la segona és un 4. És clar que si la primera equació la multipliquem per -2 aconseguirem un -4 i tindrem el desitjat. Ara bé, cal multiplicar tota l'equació per -2.

Procedim: Multipliquem la 1ª equació per -2 i la segona la deixem tal com està:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta menys negreta 4 negreta x negreta menys negreta 6 negreta y negreta igual negreta 2 fi cel·la fila cel·la negreta espai negreta espai negreta espai negreta 4 negreta x negreta espai negreta més negreta espai negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fi taula tanca claus$

Ara cal pensar que el nostre objectiu és eliminar les x, com els termes són oposats ens cal sumar les dues equacions:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la ratllat diagonal cap amunt negreta menys negreta 4 negreta x fi ratllat negreta menys negreta 6 negreta y negreta igual negreta més negreta 2 fi cel·la fila cel·la ratllat diagonal cap amunt negreta 4 negreta x fi ratllat negreta més negreta espai negreta y negreta igual negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta 3 fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta bold italic s bold italic u bold italic m bold italic e bold italic m negreta espai bold italic l bold italic e bold italic s negreta espai bold italic d bold italic u bold italic e bold italic s negreta espai bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic c bold italic i bold italic o bold italic n bold italic s negreta espai bold italic i negreta espai bold italic q bold italic u bold italic e bold italic d bold italic a negreta espai negreta menys negreta 5 bold italic y negreta igual negreta 5$

Aïllem la y $bold italic y negreta igual fracció numerador negreta 5 entre denominador negreta menys negreta 5 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 1$

Un cop ja tenim una de les incògnites resolta tornem a una de les equacions , qualsevol de les dues, la que et sembli més fàcil d'operar.

Si a la segona equació canviem la y pel valor que hem obtingut -1 , tenim : $negreta 4 bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual negreta 3$

Treballem fins aïllar la x: $negreta 4 bold italic x negreta igual negreta 3 negreta més negreta 1 negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta 4 bold italic x negreta igual negreta 4 negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai bold italic x negreta igual fracció negreta 4 entre negreta 4 negreta igual negreta 1$

Ja hem acabat, la solució del sistema és la parella $bold italic x negreta igual negreta 1 espai espai espai espai i espai espai espai negreta espai bold italic y negreta igual negreta menys negreta 1$

Anem a resoldre el mateix sistema, també pel mètode de reducció però començant de forma diferent, així veus que el procediment no és únic hi ha diferents opcions per fer-lo

Abans hem operat per aconseguir que la x de les dues equacions sigui oposada. Ara procedim per aconseguir que el coeficient de la y sigui oposat en ambdues equacions.

A la primera equació el coeficient de la y és un 3 i a la segona és un 1. Si multipliquem la segona equació per -3 aconseguirem el que ens proposem.

Així doncs: 1ª equació la deixem igual i la segona la multipliquem per -3

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta 3 negreta y negreta igual negreta menys negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta menys negreta 12 negreta x negreta menys negreta 3 negreta y negreta igual negreta menys negreta 9 fi cel·la fi taula tanca claus$

Com ara tenim els coeficients de les y oposats, per tal de que desaparegui la incògnita caldrà sumar les dues equacions.

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més ratllat diagonal cap amunt negreta 3 negreta y fi ratllat negreta igual negreta menys negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta menys negreta 12 negreta x negreta menys ratllat diagonal cap amunt negreta 3 negreta y fi ratllat negreta igual negreta menys negreta 9 fi cel·la fi taula tanca claus negreta fletxa doble dreta bold italic s bold italic u bold italic m bold italic a bold italic n bold italic t negreta espai bold italic l bold italic e bold italic s negreta espai bold italic d bold italic u bold italic e bold italic s negreta espai bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic c bold italic i bold italic o bold italic n bold italic s negreta menys negreta 10 bold italic x negreta espai negreta igual negreta espai negreta menys negreta 10 negreta fletxa doble dreta negreta espai bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 10 entre denominador negreta menys negreta 10 fi fracció negreta igual negreta 1$

Un cop trobada la x , anem a qualsevol de les dues equacions inicials per trobar la y

Per exemple anem a la segona equació i canviem la x pel valor obtingut, 1

$negreta 4 negreta per negreta 1 negreta més bold italic y negreta igual negreta 3 negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai negreta 4 negreta més bold italic y negreta igual negreta 3 negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai bold italic y negreta igual negreta 3 negreta menys negreta 4 negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai bold italic y negreta igual negreta menys negreta 1$

La solució del sistema és la parella $bold italic x negreta igual negreta 1 espai espai espai espai i espai espai espai negreta espai bold italic y negreta igual negreta menys negreta 1$

Aquí pots veure uns vídeos on es resolen sistemes pel mètode de reducció.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=hIYhtq8e8jA

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=411n0TnBl38

Enllaços d'interès:

Clica damunt la imatge i accediràs a exercicis i teoria de sistemes de equacions.