Llibre d'equacions

El llenguatge algebraic

En moltes ocasions les matemàtiques les relacionem únicament amb els nombres i les seves operacions, però les matemàtiques són molt més que això.

L'àlgebra és una branca de les matemàtiques que combina nombres amb lletres que designen quantitats desconegudes. Aquesta part de les matemàtiques té molt d'interès i molta utilitat i ajuda a modelitzar situacions de molts tipus. Presentem les principals definicions i regles del llenguatge algèbric.

El llenguatge numèric serveix per expressar operacions en les que només apareixen nombres.

El llenguatge algebraic és un llenguatge matemàtic que utilitza lletres i nombres units pels signes de les operacions aritmètiques. Les lletres designen nombres desconeguts o genèrics, podem utilitzar qualsevol lletra tot i que les més usuals són la x, la y , la z...Aquest llenguatge és molt útil per la resolució de problemes quotidians i també és molt utilitzat en moltes branques de la ciència on intervenen fórmules per expressar relacions entre magnituds.

Aquest llenguatge (com tots els altres) es regeix per unes normes que cal conèixer per tal que tots ens entenguem i l'utilitzem amb correcció. Les més importants són:

• No posarem el signe de multiplicar entre un nombre i una lletra ni tampoc entre dues lletres : Així per posar 2 multiplicat per x escriurem 2x en lloc de 2·x. Per posar a multiplicat per b posarem ab en lloc de a·b.
  
• Per expressar la multiplicació entre un nombre i una lletra escriurem el nombre davant. Així escriurem 2x i no x2 (tot i que representen el mateix).
• Com sabem que multiplicar per 1 no afecta no escriurem l'1 o el -1 que multiplica a una lletra. Així posarem x en lloc de 1·x o bé -x en lloc de -1·x.
• Les potències indiquen la multiplicació d'un nombre per ell mateix diverses vegades. Així escriurem x² per indicar x·x o bé a³ per indicar a·a·a. Cal però considerar que no escriurem mai l'exponent 1, és a dir en lloc de posar x¹ escriurem x o bé a en lloc de a¹.

El que caldrà per plantejar problemes serà saber "traduir" el llenguatge quotidià a llenguatge algebraic. Això no sempre resulta fàcil, però cal practicar-ho perquè és essencial a l'hora de fer problemes.

Vegem-ne alguns exemples:

Llenguatge quotidià	Llenguatge algebraic
si la meva edat actual és x fa tres anys tenia
el doble de l'edat que tenia fa 3 anys
el doble de la meva edat, menys tres
la meitat d'un nombre
el producte de dos nombres diferents
el quadrat d'un nombre, més el doble d'un altre
el quadrat de la suma de dos nombres

Monomis

Són expressions algebraiques formades pel producte d'un nombre per una o diverses lletres. Exemples: 2xy, 3x², -4y, -5x³, x, -y...

El nombre s'anomena coeficient i les lletres part literal. El grau d'un mononomi serà la suma dels exponents de les lletres tenint en compte que quan no hi ha exponent equival a exponent 1, és a dir x és el mateix que x¹ per això el grau és 1.

Atenció x és un monomi i el seu coeficient és 1 que com hem dit abans no l'escrivim , és invisible, la seva part literal és x i el seu grau és 1. De la mateixa manera -y també és un monomi i el seu coeficient és -1 , la seva part literal és y i el seu grau és 1.

Els nombres sense lletres es poden considerar monomis de grau 0. Així podríem dir que 3 , -4, 10 són monomis de grau 0.

Els monomis que tenen la mateixa part literal (inclosos els exponents) es diuen monomis semblants. Així per exemple 2x i -5x són semblants; 4y³ i -y³ són semblants; però 2x i 3y no són semblants i tampoc 2x i 3x².

Només podrem sumar i restar els monomis que siguin semblants i ho farem operant els coeficients i posant la mateixa part literal.

Exemples:

• 2x+5x es poden sumar doncs són semblants. Sumarem els coeficients (2+5) i posarem la mateixa part literal. Per tant el resultat serà 7x
• 6a-5a es poden restar doncs són monomis semblants. Restarem els coeficients (6-5) i posarem la mateixa lletra. Per tant el resultat serà 1a , però recorda que no escriurem l'1 i per tant posarem senzillament a.
• 7y+y-10y es poden operar en ser semblants. Operem els coeficients (7+1-10) i escrivim la lletra y. El resultat doncs serà -2y
• 4x²-6x²+2x² es poden operar en ser semblants. Operem els coeficients (4-6+2) i com el resultat seria 0x² escriurem senzillament 0 doncs 0 multiplicat per qualsevol cosa sempre dóna 0.
  
• 2x+5y no es poden sumar en no tenir les mateixes lletres.
• 2x-4x² no es poden restar en no tenir la mateixa part literal.

Polinomis

Li direm polinomi a la suma o resta de monomis no semblants. Cada un dels monomis que el formen li direm termes. El grau d'un polinomi és el grau més alt del termes que el formen.

Exemples:

• 2x²-3x+2 és un polinomi amb tres termes i té grau 2
  
• 6y⁵-5x²+4x-8y és un polinomi amb 4 termes i té grau 5
  
• 6x+5y-2y és un polinomi però només té 2 termes ja que 5y i  2y són semblants i en operar-los quedaria 6x+3y i té grau 1.

Quan treballem amb expressions algebraiques procurarem sempre reduir els termes semblants, és a dir que si tenim termes semblants sumats i/o restats els ajuntarem en un sol monomi.

Per exemple, considerem l'expressió  2x - x² + 3x - 5x²  per a reduir-la hem d'ajuntar els termes de grau 1 entre ells i els de grau dos entre ells i quedaria 5x - 6x².

Expressions algebraiques amb parèntesis

De la mateixa manera que amb el llenguatge numèric, un nombre davant d'un parèntesis indica que aquest multiplica a tot el de dins, aplicant la propietat distributiva (veure la primera part de Equacions amb parèntesis). Quan escrivim expressions algebraiques cal vigilar si ens cal o no fer ús dels parèntesis i també cal tenir cura de desenvolupar bé les expressions. Quan tenim expressions amb parèntesis aplicarem la propietat distributiva per eliminar-los.

Veiem un exemple: Suposem que tinc x anys

Quina diferència hi ha entre 2(x+1) i 2x+1 ?

A la primera expressió el dos multiplica a tot el de dins del parèntesis, per tant a la x i a 1, en canvi a la segona el 2 només multiplica a la x.

Quina de les dues expressions diu : "el doble de l'edat que tindré l'any vinent"?

Doncs la primera 2(x+1). Fixem-nos que cal multiplicar per 2 ( per fer el doble) l'edat que tindré l'any vinent , que serà x+1. Per desenvolupar l'expressió i eliminar el parèntesis faríem: 2(x+1)= 2·x+2·1 i per tant queda 2x+2.

Per cert, com "llegiríem" 2x+1, si x és la meva edat actual? Podríem llegir-ho així: "el doble de la meva edat, més 1" . Fixa't amb la coma, què és molt important!

A la pàgina Propietat distributiva i igualtats notables d'aquest mateix llibre podràs ampliar aquest concepte.

El valor numèric

Les lletres en una expressió algebraica designen a nombres desconeguts o variables, però un cop li donem a aquestes lletres un valor concret l'expressió algebraica passa a tenir un valor al qual anomenem valor numèric.

Atenció!:  el valor numèric d'una expressió algebraica és un nombre.

El trobarem substituint la o les lletres pel valor que ens diguin i fent l'operació que quedarà indicada. Cal vigilar molt en fer bé les operacions tenint en compte la jerarquia que segueixen, la llei dels signes, etc. Aquests conceptes corresponen a l'apartat d'aritmètica, per tant els pots practicar en aquesta secció si veus que et cal.

Jerarquia de les operacions.

Quan hagis de fer operacions combinades les faràs en aquest ordre:

1. Operacions dins dels parèntesis (si n'hi ha )
2. Potències
3. Productes i divisions (d'esquerra a dreta)
4. Sumes i restes (d'esquerra a dreta)

Regla dels signes per la multiplicació  divisió de nombres enters.

Potències amb base negativa

Cal recordar que una potència no és res més que una multiplicació de la base per ella mateixa tants cops com indica l'exponent .

Per tant quan la base és negativa, cal vigilar el signe del resultat final, seguint la llei dels signes.

Així per exemple:

En podem treure la següent norma:

 I ara alguns exemples:

• Donada l'expressió algebraica  2x-4y trobem el valor numèric per x=3 i y=-2.
  Substituïm la x per 3 i la y per -2 i després farem l'operació resultant. Cal recordar que el coeficient multiplica a la lletra per tant: 2· 3- 4· (-2)= 6+8= 14
  El valor numèric en aquest cas és 14.

• Donada la mateixa expressió anterior calculem ara el valor numèric per x=-5 i y= 1.
  Actuem de la mateixa manera que abans i obtenim : 2·(-5)-4·1=-10-4=-14
  El valor numèric en aquest cas és -14.

• Donada l'expressió 3x²+5 calcular el valor numèric per x=-6.
  Substituirem  la x per -6. Recorda com es calculen les potències (-6)²= (-6)·(-6)=+36
  Així doncs obtenim: 3·(-6)²+5 = 3·36 + 5 =108 + 5 =113
  El valor numèric en aquest cas és 113.

També estem calculant un valor numèric quan substituïm les dades d'un problema en una fórmula científica així per exemple:

• Sabent que l'àrea d'un triangle es calcula segons la fórmula , essent b la base del triangle i a l'alçària del mateix,  calculem l'àrea d'un triangle de  15 cm  base i una alçària de 4cm.
  Fixem-nos que això és equivalent a calcular el valor numèric de la fórmula quan b=15 i a= 4.
  Per tant
  Diem doncs que l'àrea és de 30 cm².

• Quina densitat té una substància que té una massa de 3 g i ocupa un volum de 1,3 cm³ si saps que la fórmula de la densitat és ?
  Per calcular la densitat només caldrà calcular el valor numèric de la fórmula quan m=3 i V=1,3, així doncs: (arrodonint a la centèsima)
  Per tant la substància té una densitat aproximadament de 2,31 g/cm³.

• Quin volum té una esfera de 2,5 m de radi sabent que la fórmula del volum d'una esfera és ?
  Només caldrà substituir a la fórmula la r per 2,5 i el nombre pi (π) per 3,14 (valor aproximat) i calcularem el valor numèric que resulti de fer l'operació indicada.
  Així doncs tenim  i operant resulta 65,416666.
  El volum de l'esfera és aproximadament de 65,42 m³.

Equacions

Una equació és una igualtat entre dues expressions algebraiques.

Per exemple: 2x + 3x + 1 = 4x -10 és una equació doncs iguala dues expressions algebraiques 2x + 3x + 1 i 4x -10 als quals anomenem respectivament primer i segon membre de l'equació.

En canvi 2x + 3y - 7 + x no és una equació doncs no tenim cap igualtat.

Les lletres que apareixen són les incògnites i el grau és l'exponent més alt entre els termes que la formen.

Així : 2x + 3x + 1 = 4x - 10 és una equació de primer grau amb una incògnita, la x.

Resoldre una equació consisteix en trobar el valor de la o les incògnites que fan que la igualtat sigui certa.

Les equacions de grau 1 que són les primeres que estudiarem només tenen una lletra sense exponent (és a dir amb exponent 1) i nombres. La lletra sol ser la x, però podem trobar que sigui un altre.

4t - 7= 2t - 1 + 3t és també una equació de primer grau amb incògnita t

Resoldre una equació consisteix en trobar el valor o valors de la o les incògnites que fan que la igualtat es verifiqui. Si l'equació és molt simple, aquest valor el podrem trobar a "ull", però si l'equació és més llarga o complexa ens caldrà un mecanisme  per  a resoldre-les.

Per exemple:

x + 8 = 10---> Quin valor ha de prendre la x per a que es verifiqui la igualtat? És a dir, quin nombre hem de sumar a 8 per que doni 10? Sabem ràpidament que la solució és x =  2, perquè 2 + 8 =10.

2t = 10 ---> Quin valor ha de prendre la t per a que es verifiqui la igualtat? És a dir, quin nombre multiplicat per 2 dóna 10?  Això també és fàcil,  la solució és t =  5, perquè 2·5 =10.

Però que passa quan parlem d'equacions més llargues o complicades?

Per exemple quin valor cal donar a la x per a que aquesta igualtat 2x + 3x + 1 = 4x - 10 sigui certa ?

Trobar aquesta solució a "ull" ja no és tan fàcil.

Ara aprendràs un mecanisme que et permetrà transformar aquestes equacions en equacions més simples fins que les puguis resoldre fàcilment.

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució. Caldrà tenir present les següents propietats de les equacions:

• Si sumem o restem un mateix terme als dos membres d'una equació obtenim una equació equivalent a la primera.
• Si multipliquem o dividim per un mateix nombre (diferent de zero) els dos membres d'una equació obtenim una equació equivalent a la primera.

L'objectiu per a resoldre una equació serà fer passos adients que ens permetin arribar a equacions equivalents a la inicial però cada cop més fàcils de resoldre. En realitat estarem aplicant les propietats anteriors, però a la pràctica ho farem d'una forma molt mecànica que es coneix com a transposició de termes.

Treballarem fins aconseguir que a un membre de l'equació ens quedi només x i a l'altre només un nombre de manera que ja tindrem la solució: x= nombre.

Comencem amb alguns exemples senzills per explicar la transposició de termes:

• x + 3 = 10   observem a "ull" que la solució és 7 doncs 7+3=10, però anem a fer-ho pas a pas.
  Volem que la x estigui "sola" a un membre de l'equació , per tant ens destorba el 3, així doncs restarem 3 als dos membres obtenint una equació equivalent a la inicial.
  
  

  x + 3 - 3 = 10 - 3   com 3-3 =0 tenim (*)

  
  x = 10 - 3      "sembla" que el 3 que estava sumant a un membre de l'equació hagi passat restant, això es coneix com a transposició  de termes.
  Per tant la solució és x = 7.
  
  (*) a la pràctica aquest pas ja no el farem, i directament passarem a fer la transposició: el 3 sumat el passem a l'altra costat restat.
  
  

• 12 = x - 5   ara per tenir la x sola a un membre ens destorba el -5, per treure'l sumarem 5 als dos membres de l'equació.
  
  

  12 + 5 = x - 5 + 5    (*)com - 5 + 5 és 0 tenim

  
  12 + 5 = x "sembla" que el 5 que estava restant al segon membre passi al primer membre sumant i ja tenim la solució
  17 = x ,   observem que efectivament 12=17-5
  
  (*) a la pràctica aquest pas ja no el farem, i directament passarem a fer la transposició: el 5 restat el passem a l'altra costat sumat.
  
  

• 3x = 15 ara per tenir la x sola cal eliminar el 3 que multiplica a la x (recorda que tot i que no posem el punt · el coeficient està multiplicant a la x) , això ho aconseguirem si dividim els dos membres de l'equació per 3
  
  

  (*) com  ja tenim la x aïllada

  
  
    "sembla" que el 3 que multiplicava a un membre de l'equació hagi passat a dividir a l'altre membre
  x= 5   és la solució, provem-ho: 3·5=15
  
  (*) a la pràctica aquest pas ja no el farem, i directament passarem a fer la transposició: el 3 que multiplica el passem a l'altra costat dividint.
  
  

•   en aquest cas ens cal desfer-nos del 4 que divideix la x, per fer-ho multiplicarem els dos membres per 4
  
  

  (*) com queda

  
  
      "sembla" que el 4 que dividia a un membre de l'equació hagi passat multiplicant a l'altre membre i així doncs
  x= -20  és la solució, provem-ho    efectivament!
  
  (*) a la pràctica aquest pas ja no el farem, i directament passarem a fer la transposició: el 4 que divideix el passem a l'altra costat multiplicant.
  
  

Transposició de termes

Fixem-nos que la transposició de termes la podríem resumir així: 

Quan passem els termes d'una equació d'un membre a un altre (d'un costat a un altre) tenim:

• • Els termes sumats-------> passen a restar
  • Els termes restats-------> passen a sumar
  • Els nombres multiplicats-------> passen a dividir
    
  • Els nombres dividits -------> passen a multiplicar

Et recomano que miris aquest vídeo per acabar d'entendre  de la transposició de termes

Adaptació visual: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Fd2ucsxh0cs

Equacions senzilles amb diversos termes

Anem ara a resoldre equacions on apareixen més de dos termes. Es tractarà de fer transposició de termes per tal d'aconseguir tenir totes les x a un membre de la igualtat i tots els nombres a l'altra membre. Un cop aconseguit només caldrà operar per reduir termes i finalment aïllar la x.

Especifiquem els passos.

1. Utilitzant la transposició de termes agrupem tots els termes que tenen x a un membre (costat) de l'equació i tots el nombres a l'altra (recordar que quan canviem de membre un terme, aquest canvia de signe: suma <---> resta)
   
2. Reduïm els termes semblants, és a dir sumem o restem les x entre elles i els nombres entre ells.(Cal tenir un bon domini dels càlculs amb enters)
   
3. Aïllem la x per trobar la solució (passant el nombre que multiplica a la x, a l'altra membre dividint).
4. Simplificar la solució, si no ho estava.
   
   

Anem a fer alguns exemples. Cal que practiquis molt fins que aprenguis el mecanisme, ja veuràs que és ben fàcil.

• 3x - 9 = 5x - 3x + 12 utilitzem la transposició de termes per deixar totes les x a un membre (per exemple a l'esquerra) i els nombres a l'altra. Recorda que això de forma ràpida suposa que si passem un terme d'una banda a l'altra de la igualtat es canviarà de signe.
  3x - 5x + 3x = 12 + 9 destaquem en vermell els signes que han canviat. Ara cal operar, les x entre elles i els nombres entre ells : (3-5+3)x = 12+9
  1x = 21, per tant en aquest cas ja estem la solució és x = 21

• 6x - 4x + 3 = 10 + 3x + 5 procedim de la mateixa manera, passem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta
  6x - 4x - 3x = 10 + 5 - 3 ara operem, és a dir reduïm termes (6 - 4 - 3)x =10 + 5 - 3
  -x = 12 , per tenir la x en positiu només cal canviar de signe tota l'equació (és a dir multiplicar-la tota per -1)
  x = -12
  Nota: Aquest darrer pas també el pots pensar així si ho prefereixes:
  -1x = 12----->  és a dir, el -1 que multiplica a la x, el passem a l'altra banda dividint
  

• -5x + 12x -3 + 8 = 3x + 1 agrupem termes amb x i nombres
• -5x + 12x - 3x = 1 + 3 - 8 ara reduïm termes
    4x = -4 i finalment aïllem la x passant el 4 que multiplica a la x a l'altre membre dividint
  observeu que reduïm la fracció, en aquest cas dóna un enter.
  

• 8 -7x + 9x -4 = 12 - 5x + 3x + 4 + 2x - 8x agrupem a l'esquerra els termes amb x i a la dreta els nombres
  -7x + 9x + 5x - 3x - 2x + 8x = 12 + 4 - 8 + 4 reduïm
  10x = 12 i aïllem la x
  observem que en aquest cas no dóna enter però donem la fracció irreductible, tot i que també es podria donar el resultat decimal 1,2.

• 5t - 4t- 9 = 1 + 7t + 12 transposem termes
  5t - 4t - 7t = 1 + 12 + 9 reduïm termes
  -6t = 22 i finalment aïllem la t
  fixem-nos que la fracció resultant s'ha simplificat (dividint numerador i denominador per 2) i hem posat el negatiu davant de la fracció
  
  
  

Mira't aquests vídeos on trobaràs més exemples.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=tGlBf2bEDqI

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=5qc_82CFH4I

Enllaços d'interès

Pots practicar amb aquest activitat Jclic dissenyada per Victòria Xifré (requereix Java)

Clica damunt la imatge per accedir-hi.

Equacions de grau 1 amb parèntesis

Pugem un graó més de dificultat per passar a resoldre equacions on apareixen termes entre parèntesis.

Només cal tenir en compte que un nombre davant d'un parèntesi està multiplicant a tot el de dintre ( tot i que no es posi el punt de multiplicar). Per eliminar el parèntesi aplicarem la que es coneix com a propietat distributiva.

Exemples:

• 3(x+4)=3x+3·4=3x+12
• 5(-1+2x)=5·(-1)+5·2x=-5+10x
  
• -3(4+2x)=-3·4-3·2x=-12-6x
  

També convé aclarir que el signe menys davant d'un parèntesi canvia de signe tot el de dintre, de fet és com tenir el -1 multiplicant al parèntesi.

Així:

Exemples:

• 3(x-4) = 3x + 3·(-4) =3x - 12
• 5(-1-2x) = 5·(-1) + 5·(-2x) = -5 - 10x
  
• -3(4-2x) = -3·4 -3·(-2x) = -12 + 6x
• -(4x-2) = -4x+2

Un cop eliminat els parèntesis l'equació ja quedarà com els cassos anteriorment explicats i per tant es resoldrà de la mateixa manera.

Podríem per tant resumir els passos per a resoldre una equació amb parèntesis de la següent forma, senzillament afegint un pas previ als que ja teníem:

1. Eliminem els parèntesis usant la propietat distributiva.
2. Agrupem termes amb x a un membre de l'equació i els nombres a l'altre membre usant la transposició de termes.
3. Reduïm els termes semblants operant.
4. Aïllem la x per trobar la solució.
5. Simplificar la solució si no ho estava.
   

Passem a fer-ne algunes a mode d'exemple.

• 2(x - 5 ) + 1 = - (4 - x) per eliminar els parèntesis multipliquem el 2 per x - 5 i el signe negatiu canvia els signes de 4 - x,
  2x - 2·5 + 1 = -4 + x fem el producte de nombres
  2x - 10 + 1 = -4 + x i ara ja tenim una equació senzilla i seguim agrupant termes amb x a un membre i nombres a l'altre
  2x - x = -4 + 10 - 1 reduïm
  x = 5 ja tenim la solució

• 9 - 2(3x+1) = 7(3-x) + 1 eliminem els parèntesis aplicant la propietat distributiva
  9 - 2·3x - 2·1 = 7·3 - 7x + 1 fem les multiplicacions entre els nombres
  9 - 6x - 2 = 21- 7x + 1 ja no tenim parèntesis, ara agrupem termes amb x a un membre i nombres a l'altre
  -6x + 7x = 21 + 1 -9 + 2 ara reduïm termes semblants
  x= 15 i ja tenim la solució

• 8(5-3x) = -4x eliminem parèntesi aplicant la propietat distributiva
  8·5 - 8·3x = -4x fem les multiplicacions de nombres
  40 - 24x = -4x agrupem els termes amb x a un membre i els nombres a l'altre
  40 = -4x + 24x reduïm els termes semblants
  40 = 20x i finalment aïllem la x dividint l'equació per 20
  i ja tenim la solució

Enllaços d'interès:

clica damunt la imatge i accediràs a equacions resoltes pas a pas de diferent nivell de dificultat.

Equacions amb fraccions

Ens queda un pas més de dificultat: com resoldre equacions en les que apareixen denominadors?

Els passos a seguir seran aquests:

1. Calcular el m.c.m de tots els denominadors (els termes que no tenen denominador és com si tinguessin denominador 1).
2. Multiplicar tots els temes de l'equació pel m.c.m. i simplificar-ho de manera que desapareixen els denominadors.
3. Treure els parèntesis (si n'hi ha) aplicant la propietat distributiva.
4. Agrupar els termes amb x a un costat i els nombres a l'altre.
5. Reduir termes semblants.
6. Aïllar la x.

Observa que un cop hem fet el pas 1 ja ens trobem amb una equació com les ja treballades i seguim els passos dels casos anteriors.

Veiem alguns exemples resolts

Calculem el mcm(2,3)=6

Multipliquem per 6 tots els termes:

Ara fem primer les divisions abans de fer els productes i d'aquesta manera eliminem els denominadors.

i per tant queda

Eliminem el parèntesi fent els productes:

Transposem termes

i operem

Aïllem la x .

com ja tenim la fracció reduïda, ja hem acabat.

calculem el m.c.m (4,2)=4

Multipliquem tots els termes per 4

Fem les divisions i els productes per eliminar els denominadors:

Agrupem termes, reduïm i aïllem la x

Observacions a tenir en compte

• • El signe menys davant d'una fracció afecta a tot el numerador
    Per exemple:         
    

• • En el cas que l'equació només tingui un terme a cada banda, el pas 1 equival a multiplicar en creu, és a dir , la resolució final equival a fer-ho seguint el mètode general
    Exemple:
    
    Multipliquem els denominadors en creu
    
    
    ara que ja no tenim denominadors, continuem els passos
    eliminem els parèntesis
    transposem termes
    ajuntem x i nombres
    i finalment aïllem la x i simplifiquem el resultat:

En aquests vídeos pots veure la resolució d'altres equacions amb fraccions.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KBXwQLjeFf4

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KDxvfarGL98

Què és un sistema d'equacions?

Resolució gràfica

• Les rectes es tallen en un punt. Aquest punt pertanyerà a les dues rectes i com a conseqüència els valors de les corresponents coordenades (x, y), seran la solució del sistema. Per tant el sistema tindrà una única solució. Direm que és un sistema compatible determinat
• Les rectes són paral·leles i per tant no tenen cap punt comú. Llavors, el sistema no tindrà solució. Direm que és un sistema incompatible.
• Les dues rectes són la mateixa , les rectes tenen tots els punts en comú. Només obtindrem una recta. Per tant tots els parells de valors (x,y) seran solució. Com a conseqüència, el sistema tindrà infinites solucions. Direm que és un sistema compatible indeterminat.

rectes que es tallen en un punt             rectes paral·leles                                  rectes que coincideixen

solució única (punt de tall)                      sense solució                                        infinites solucions

Cal comentar que aquest mètode no és el més ràpid, però si que és molt visual quan les solucions són enteres.

EXEMPLES

• Assenyalem en els eixos coordenats els punts: (-1,6); (0,5); (1,4); (2,3) i els unim. La recta que en resulta és l'expressió gràfica de la primera equació.
• Assenyalem en els eixos coordenats els punts: (-1,10); (0,8); (1,6); (2,4) i els unim. La recta que en resulta és l'expressió gràfica de la segona equació.

Sistemes d'equacions resolució analítica

Per a resoldre analíticament un sistema de dues equacions amb dues incògnites, hi ha tres mètodes: substitució, igualació i reducció.

Cal remarcar que qualsevol mètode és bo. Val la pena conèixe'ls tots i després triar en cada cas el que ens sembli més adient o bé el mètode amb el que ens sentim més còmodes.

És convenient abans de començar a aplicar qualsevol dels mètodes posar totes les incògnites al primer membre de les equacions i els nombres al segon membre utilitzant la transposició de termes i després reduir fins obtenir una expressió com la següent:

Mètode de substitució

• Aïllar una incògnita en una de les dues equacions. (la que resulti més fàcil)
• Substituir l’expressió obtinguda en l’altra equació. (Ens queda una equació amb una sola incògnita).
  
• Resoldre l’equació obtinguda. (Amb això ja sabrem el valor d'una de les incògnites).
  
• Calcular el valor de l’altra incògnita tornant a la primera equació.

EXEMPLE

• Comencem per aïllar la y de la primera equació (podríem aïllar la x de forma anàloga)

y=5-x

• Ara substituïm la y de la segona equació per l'expressió obtinguda:

2x+(5-x)=8 hem obtingut una equació de primer grau amb una sola incògnita.

• La resolem amb els mecanismes ja coneguts:

aplicant la transposició de termes posem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta 2x-x=8-5

reduïm els termes semblants x=3 i ja tenim la x aïllada.

Tornem a la primera equació i substituïm la x pel seu valor:

3+y=5 i per acabar aïllem la y

y= 5-3=2

Ja tenim la solució del sistema: x=3 i y=2

Aquí tens alguns vídeos que il·lustren aquest mètode:

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=kLFo10a_NY8

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=h9q5rLcW73Y

Mètode d'igualació

• Aïllar la mateixa incògnita de les dues equacions.
  
• Igualar les dues expressions obtingudes. (Ens queda una equació amb una sola incògnita)
  
• Resoldre l’equació obtinguda. (Amb això ja sabrem el valor d'una de les incògnites).
  
• Calcular el valor de la segona incògnita, substituint el valor trobat de l’altre incògnita, en qualsevol de les dues equacions.

Exemple

Seguim amb el mateix exemple:

• Aïllem la mateixa incògnita a les dues equacions, ho farem amb la y però cal remarcar que es podria fer amb la x si fos més senzill l'aïllament.

x+y= 5------> y= 5-x

2x+y= 8-----> y= 8 - 2x

• Ara igualem les dues expressions obtingudes: 5-x= 8-2x observa que això és una equació amb una sola incògnita , la x en aquest cas.
• Procedim de la forma habitual per a resoldre-la:

Apliquem la transposició de termes: -x+2x= 8-5

Reduïm les termes semblants: x=3 i ja tenim la x.

• Ara tornem a qualsevol de les dues equacions inicials i canviem la x pel valor obtingut. (Ho fem a la primera, però es podria fer exactament igual a la segona)

3+y= 5, ja només cal aïllar la y

y=5-3=2

• Ja tenim la solució del sistema: x=3 i y=2
  

Aquí tens alguns vídeos per il·lustrar aquest mètode.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=IBsJAFUpV2c

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lTRANviJWEY

Mètode de reducció

• Multiplicarem tots els termes d'una o les dues equacions per algun nombre fins a aconseguir que que les dues equacions tinguin un terme oposat (canviat de signe). És a dir que els coeficients de les x o bé de les y a les dues equacions siguin iguals però amb signes canviats.
  
• Un cop aconseguit haurem de sumar les dues equacions amb l'objectiu que desaparegui una de les incògnites.
  
• Ens quedarà una equació amb una sola incògnita que resoldrem pels mètodes habituals.
  
• Substituirem a una de les equacions inicials el valor ja trobat per aïllar l'altra incògnita.
  

Exemple

El primer que ens hem de plantejar és quin terme volem fer canviat de signe. El terme el tries tu , procurant que sigui fàcil, però que quedi clar que podries començar de diferents maneres.

Per exemple: volem que els termes de les x siguin oposats. Què hem de fer? A la primera equació el coeficient de la x és un 2 i a la segona és un 4. És clar que si la primera equació la multipliquem per -2 aconseguirem un -4 i tindrem el desitjat. Ara bé, cal multiplicar tota l'equació per -2.

Procedim: Multipliquem la 1ª equació per -2 i la segona la deixem tal com està:

Ara cal pensar que el nostre objectiu és eliminar les x, com els termes són oposats ens cal sumar les dues equacions:

Aïllem la y

Un cop ja tenim una de les incògnites resolta tornem a una de les equacions , qualsevol de les dues, la que et sembli més fàcil d'operar.

Si a la segona equació canviem la y pel valor que hem obtingut -1 , tenim :

Treballem fins aïllar la x:

Ja hem acabat, la solució del sistema és la parella

Anem a resoldre el mateix sistema, també pel mètode de reducció però començant de forma diferent, així veus que el procediment no és únic hi ha diferents opcions per fer-lo

Abans hem operat per aconseguir que la x de les dues equacions sigui oposada. Ara procedim per aconseguir que el coeficient de la y sigui oposat en ambdues equacions.

A la primera equació el coeficient de la y és un 3 i a la segona és un 1. Si multipliquem la segona equació per -3 aconseguirem el que ens proposem.

Així doncs: 1ª equació la deixem igual i la segona la multipliquem per -3

Com ara tenim els coeficients de les y oposats, per tal de que desaparegui la incògnita caldrà sumar les dues equacions.

Un cop trobada la x , anem a qualsevol de les dues equacions inicials per trobar la y

Per exemple anem a la segona equació i canviem la x pel valor obtingut, 1

La solució del sistema és la parella

Aquí pots veure uns vídeos on es resolen sistemes pel mètode de reducció.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=hIYhtq8e8jA

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=411n0TnBl38

Enllaços d'interès:

Clica damunt la imatge i accediràs a exercicis i teoria de sistemes de equacions.

Equacions de grau 2

Entrem ja amb les equacions de grau dos. Les distingirem perquè tindrem un terme amb x² i aquest serà el grau més gran que surt a l'equació. Per exemple: o són equacions de grau 2.

Per resoldre les equacions de grau dos, tenim una fórmula i només caldrà aplicar-la. Però per fer-ho, haurem de tenir l'equació escrita en la seva forma general que serà d'aquest tipus: on a, b i c seran nombres qualsevol (la a no serà zero, perquè si no ja no tindrem una equació de grau 2).

Un cop escrita així caldrà identificar molt bé qui són en el nostre cas la a, la b i la c i després aplicar la següent fórmula:

Observa que aquesta fórmula ens dóna dues possibilitats amb el signe ± i d'aquí en traurem en general dues equacions de l'equació.

i

L'ordre en que les calculis no té importància, excepte quan estiguis responent un qüestionari. Allí si que has de posar els dos valors que obtinguis en l'ordre que es diu a l'enunciat, perquè la correcció és automàtica i si no ho fas tal com es demana no es corregirà bé.

El valor de dins l'arrel es diu discriminant i es denota Δ , així doncs

Segons el valor del discriminant podrem afirmar si l'equació té o no solució i si en té, quantes en té de diferents.

• • Si el discriminant és Δ>0 l'equació té dues solucions diferents.
  • Si el discriminant és Δ=0 l'equació té una solució repetida
  • Si el discriminant és Δ<0 l'equació no té solució

Observacions:

• • en el cas que el valor del discriminant sigui positiu tindrem dues solucions que vindran del doble signe (sumar i restar) que tenim davant de l'arrel.
  • és important en aquest tema tenir un bon domini de la calculadora a l'hora de fer l'arrel quadrada i la resta d'operacions. Si amb la calculadora fem l'arrel d'un nombre negatiu, la calculadora ens retornarà Error i això vol dir que aquesta arrel no existeix i per tant que l'equació no té solució.
  • És recomanable per evitar errors que facis les operacions pas a pas i vigilis molt la llei dels signes i la prioritat de les operacions:
    - primer calcula el valor de dins de l'arrel
    - després fes l'arrel
    - calcula separadament el valor del numerador i el denominador (recorda que tindràs dos numeradors un amb el + i l'altra amb el - )
    - finalment fes la divisió del numerador entre el denominador i obtindràs les solucions (en cas d'haver-n'hi).
  • Si et cal repassar què és l'arrel quadrada d'un nombre et donem alguns enllaços, no cal aprendre l'algoritme perquè les podràs fer amb calculadora:

-Com es calcula una arrel quadrada? Edu365.cat
-Definició d'arrel quadrada (Sangakoo)
- La raiz cuadrada de un número entero (vitutor)

Enllaços d'interès

Segueix aquesta ruta:

http://www.toomates.net

Un cop dins la pàgina tria Recursos >>Equacions>>Equacions de segon grau

Hi trobaràs diversos exercicis interactius.

Tenint present la fórmula:

Anem a aplicar-la en alguns exemples.

Exemple 1

cal tenir present que si no tenim cap nombre davant de la x² és perquè es tracta de l'1, per tant el que tenim és:

(vigilar molt els signes)

Apliquem la fórmula:

Aquesta equació té dues solucions -1 i 3.

Exemple 2

Apliquem la fórmula i substituïm pels valors

Observeu que ara l'arrel no és exacta i hem aproximat el resultat amb dos decimals.

Aquesta equació té dues solucions que són -2,685 i 0,185.

Exemple 3

Apliquem la fórmula i substituïm pels valors

Observeu que en aquest cas, com el discriminant ha donat 0, les dues solucions obtingudes són la mateixa.

Aquesta equació té una solució (doble) x=6.

Exemple 4

Apliquem la fórmula i substituïm pels valors

Observeu que en aquest cas, com el discriminant ha donat negatiu,no existeix l'arrel quadrada.

Aquesta equació NO té solució.

Equacions de segon grau incompletes

Si l'equació té els tres coeficients a, b i c no nuls l'equació es diu completa i aplicarem la fórmula per resoldre-la. Però si algun dels coeficients b o c són 0 direm que l'equació és incompleta i tindrem un mètode més curt per resoldre-la (tot i que també podrem fer servir la fórmula de sempre).

-Si l'equació queda , en aquest cas es diu incompleta i la podem resoldre aplicant la fórmula o bé així

-Si l'equació queda , en aquest cas es diu incompleta i la podem resoldre aplicant la fórmula o bé traient factor comú.

Exemple incompleta amb b=0

Fixa't que aquesta equació no té coeficient amb la x, això vol dir que aquest coeficient és 0, per tant es tracta d'una equació incompleta. La podem resoldre de dues maneres:

Forma 1

L'equació té dues solucions -2 i +2.

Forma 2

Aplicant la fórmula habitual

Apliquem la fórmula i substituïm pels valors

Exemple incompleta amb c=0

Fixa't que aquesta equació no té terme independent, això vol dir que aquest coeficient és 0, per tant es tracta d'una equació incompleta. La podem resoldre de dues maneres:

Forma 1

L'equació té dues solucions 0 i -0,5.

Forma 2

Aplicant la fórmula habitual

Apliquem la fórmula i substituïm pels valors

Per poder aplicar la fórmula de resolució d'una equació de 2n grau cal tenir l'equació en forma general, és a dir:

Això farà que en alguns exercicis necessitis aplicar la propietat distributiva amb expressions algebraiques.

Propietat distributiva

Aquí tens alguns exemples amb els passos detallats per ajudar-te. Cal tenir en compte que el que hi ha davant d'un parèntesi multiplica a tot el de dintre i que després cal simplificar-ho al màxim.

Exemples

En exemples següents caldrà aplicar la propietat distributiva doblement.

A les tres últimes expressions haguéssim pogut aplicar unes fórmules que es diuen igualtats notables que fan aquest procediment més curt

Anem aplicar aquestes fórmules en alguns exemples, en el darrer pas reduïm els resultats

• • caldrà aplicar la fórmula del quadrat d'una suma amb la a=x i la b=5 , llavors queda:

• • caldrà aplicar la fórmula del quadrat d'una resta amb a=3 i b=x , llavors queda:

• • caldrà aplicar la fórmula de suma per diferència amb a=4 i b=x, llavors queda

Resoldre problemes amb equacions

En matemàtiques una de les coses que més costa als alumnes , però alhora una de les més interessants i útils és la resolució de problemes.

Molts problemes es poden resoldre utilitzant equacions.

Per resoldre un problema mitjançant equacions caldrà seguir els següents passos:

1. 1. Llegir amb molta atenció l'enunciat fins a comprendre'l perfectament. Aquest pas, que pot semblar obvi, és bàsic i si no hi ha comprensió no es pot resoldre el problema.
      
   2. Identificar la incògnita o incògnites del problema. És a dir saber allò que estem cercant i anomenar-la amb una lletra (o lletres), habitualment la x, y, ...
      
   3. Escriure les dades de l'enunciat si cal en funció d'aquestes lletres.
      
   4. Plantejar la o les equacions que resolen el problema. És a dir: cal "traduir" el que diu l'enunciat a llenguatge algebraic fins obtenir-ne una equació. Aquest pot ser el pas més difícil , però el més important.
      
   5. Resoldre la o les equacions usant els mètodes ja coneguts.
   6. Un cop tenim la solució de l'equació cal pensar si té sentit amb el que demana el problema i respondre a totes les preguntes que ens fa l'enunciat. Cal escriure una frase o frases amb la resposta no limitar-se a escriure x=a.
      
   7. Per últim cal provar que la solució obtinguda és correcte comprovant que compleix l'enunciat. No és suficient provar l'equació, doncs es pot donar el cas que l'equació estigui ben resolta però que no sigui la que respon al problema. I si veiem que no és correcte, caldrà tornar a revisar tots els passos.
      

La millor manera d'aprendre a resoldre problemes és fer-ne molts, mirar exemples per aprendre estratègies, confiar en un mateix i sobretot no defallir i perdre la por.

Vídeos de problemes resolts

Alguns vídeos amb problemes resolts mitjançant equacions

En aquest vídeo un professor dóna consells clau per a plantejar bé els  problemes (Julio profe)

Problema d'edats resolt amb una equació de primer grau (Xavi mates)

Resolució d'un problema amb un sistema d'equacions (Xavi mates)

Resolució d'un problema amb una equació de grau 2 (Xavi mates)