Solució Tramesa

1. En una recta de 490 m una persona està observant el moviment de 2 vehicles. Un automòbil surt de l'extrem esquerra de la recta i es mou cap a la dreta i en línia recta amb una velocitat constant de 72 km/h. En el mateix moment un motorista que es troba a l'extrem dret de la recta es mou cap l'esquerra amb una velocitat constant de 54 km/h. [4 punts en total]

a) Feu un esquema de la situació inicial. Indiqueu les dades inicials dels 2 vehicles i plantegeu l'equació del moviment de cadascun.

Agafem com a origen de coordenades el punt on comença el moviment el cotxe i positiu cap a la dreta.

Les dades inicials del problema i les equacions de cada moviment són:

Vehicle 1: Automòbil

x₀ = 0 m
x = ?
v₁ = 72 km/h = 20 m/s
t₀ = 0 s
t = ?

$x - x_0 = v \cdot (t - t_0)$

$x - 0 = 20 \cdot (t - 0)$

$x = 20 \cdot t$

Equació del moviment del cotxe   x=20·t

Vehicle 2: Moto

x₀ = 490 m
x = ?
v₁ = - 54 km/h = - 15 m/s (signe negatiu ja que la moto va cap a l'esquerra)
t₀ = 0 s
t = ?

$x - x_0 = v \cdot (t - t_0)$

$x - 490 = -15 \cdot (t - 0)$

$x - 490 = -15 \cdot t$

Equació del moviment de la moto   x=490-15·t

b) Calculeu l'instant en que els dos mòbils es troben i la posició que ocupen en aquest moment

Fem un sistema amb les dues equacions del moviment anteriors:

$\begin{cases}x = 20 \cdot t\\x - 490 = -15 \cdot t \end{cases}$

$\begin{cases}x = 20 \cdot t\\x = 490 -15 \cdot t \end{cases}$

igualem:

$20 \cdot t = 490 -15 \cdot t$

$20 \cdot t + 15 \cdot t = 490$

$35 \cdot t = 490$

$t = \frac{490}{35}$

temps $\boxed{t = 14 \; s}$

i la posició dels vehicles:

$x = 20 \cdot t = 20 \cdot 14$

posició $x = 280 \; m$

o també:

c) Representeu gràficament els dos moviments en un mateix gràfic posició-temps.

d)  Si el motorista també es mogués cap a la dreta; quant de temps trigaria el vehicle a atrapar-lo? suposeu les mateixes velocitats de l'enunciat i la mateixa distància inicial entre els vehicles.

Les equacions per aquest cas serien:

</p><p>igualant <br></p> <p></p> <p></p> <p></p> <h5 id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2532"><strong id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2531">2. En una prova de salt olímpic, el saltador s'impulsa verticalment cap a munt amb una velocitat de 4 m/s des d'un trampolí que es troba a 10 m sobre el nivell de l'aigua de la piscina. Agafeu l'origen de coordenades a l'aigua de la piscina i positiu cap a dalt. [6 punts en total]<br></strong></h5><p id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2571"><strong id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2581"><strong id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2582">Dada: g=9,8 m·s<sup id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2583">-2</sup></strong><br id="yui_3_17_2_1_1573631171199_2584"></strong></p> <p><strong>a) Fins a quina alçada puja el saltador?</strong></p> <p>Agafem l'origen de coordenades a l'aigua de la piscina i positius cap a dalt. Així tenim les següents dades:</p> <p>y₀ = 10 m<br>v₀ = 4 m/s<br>v = 0 m/s (quan té alçada màxima no té velocitat)<br>a = -9,8 m/s²</p> <p>Primer calculem el temps que triga en arribar a l'alçada màxima:</p> <p>$v = v_0 + a \cdot t$</p> <p>$0 = 4 - 9,8 \cdot t$</p> <p>$t = 0,408 \; s$</p> <p>Apliquem l'equació de la posició del MRUA:</p> <p>$y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$

$y = 10 + 4 \cdot 0,408 + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot 0,408^2$

$\boxed{y = 10,8 \; m}$

b) Quant de temps triga a passar per davant del trampolí (comptat des de l'inici del salt)?

Ara tenim les següents dades:

y₀ = 10 m
y = 10 m
v₀ = 4 m/s
a = -9,8 m/s²

Apliquem l'equació de la posició del MRUA:

$y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$

Apliquem l'equació de la posició del MRUA:

$10 = 10 + 4 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot t^2$

$0 = 4 \cdot t -4,9\cdot t^2$

$0 = t \cdot (4 - 4,9\cdot t)$

Si un producte és zero llavors un dels factor segur que és zero:

$t = 0$ (Aquesta solució diu que inicialment el saltador està al trampolí)

L'altra solució és:

$4 - 4,9\cdot t = 0$

$- 4,9\cdot t = - 4$

$t = \frac{-4}{-4,9}$

$\boxed{t = 0,816 \; s}$

Podem comprovar que aquest temps és el doble del temps que triga en arribar a l'altura màxima calculat en l'apartat anterior.

c) Quant de temps triga a arribar a l'aigua (comptat des de l'inici del salt)?

Per calcular aquest temps fem que la posició final és zero:

$y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$

$0 = 10 + 4 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot t^2$

$0 = 10 + 4 \cdot t - 4,9 \cdot t^2$

$4,9 \cdot t^2 - 4 \cdot t - 10 = 0$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-10)}}{2 \cdot 4,9} = \frac{4 \pm \sqrt{16 +196}}{9,8} = \frac{4 \pm 14,56}{9,8}$

i les dues solucions són:

$t_1 = 1,89 \; s$

$t_2 = - 1,08 \; s$

Com la solució negativa no ens interessa, la solució correcta és:

$\boxed{t = 1,89 \; s}$

d) A quina velocitat arriba a l'aigua (indiqueu-ne el mòdul, la direcció i el sentit)?

La velocitat de contacte amb l'aigua és:

$v = v_0 + a \cdot t$

$v = 4 + (-9,8) \cdot 1,89$

$\boxed{v = -14,5 \; m/s}$

La velocitat és negativa ja que té sentit descendent.

e) Feu la gràfica v-t del saltador des que deixa el trampolí fins que arriba a l'aigua.

Amb les dades anteriors tenim la següent taula de valors:

i el gràfic serà:

f) Dins de l'aigua el saltador es frena fins aturar-se en 3 m i torna a pujar a la superfície de l'aigua. Calculeu quina desacceleració (suposada constant) ha sofert dins l'aigua en el moviment de baixada. 

Quan el saltador entra a l'aigua comença un moviment de frenada, on arriba als 3 m per sota de la superfície de l'aigua. Podem calcular l'acceleració d'aquest tram:

$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot (x - x_0)$

$0 = (-14,5)^2 + 2 \cdot a \cdot (-3 - 0)$

$0 = 210,25 - 6 \cdot a$

acceleració de baixada $a = 35 \; m/s^2$