L'exercici a enviar és:

Exercici 1. (3 punts)

La funció : f parèntesi esquerre t parèntesi dret igual 20 t menys t al quadrat    representa la posició, en funció del temps, d'un mòbil que es desplaça  seguint una trajectòria.  "t" representa l'hora del dia i f(t) la  distància a l'origen (al punt inicial)

a) Calculeu i expliqueu el significat de f(20)

b) Calculeu i expliqueu el significat de f(30)

c) Calcula i expliqueu el significat de la taxa de variació  mitjana de la funció f(t) entre 20h i 30h

(Indicació: Podeu consultar un exemple similar en Resum conceptes bàsics del lliurament 3 en l'apartat 1.2 Exemple taxa variació mitjana)

--------------------------------------------

Exercici 2. (4 punts)

Considerem la funció : f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x més 2 entre denominador x al quadrat menys x més 2 fi fracció

Trobeu l'equació de la recta tangent en el punt x = 1

(Indicació: Podeu consultar un exemple similar en Resum conceptes bàsics del lliurament 3 en l'apartat 6.2 Exemple 1 de l'apartat Recta tangent)

--------------------------------------------

Exercici 3. (3 punts)

Calcula els valors de a i b per tal que la funció f(x) sigui derivable a tot arreu

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la a x al quadrat menys x espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai x menor que 1 fi cel·la fila cel·la x al quadrat més b x menys 4 espai espai espai s i espai espai espai x major o igual que 1 fi cel·la fi taula tanca

Escriu la funció f'(x) en aquest cas

(Indicació: Podeu consultar un exemple similar en Resum conceptes bàsics del lliurament 3 en l'apartat 5.2 Exemple derivada funció a trossos)

Exercici 1

f parèntesi esquerre t parèntesi dret igual 20 t menys t al quadrat


a) f parèntesi esquerre 20 parèntesi dret igual 20 per 20 menys 20 al quadrat espai igual espai 0 espai m e t r e s (o unitats de longitud)

Significa que a les 20h el mòbil està a 0 metres de la posició inicial (o sigui està en l'origen)

b) f parèntesi esquerre 30 parèntesi dret igual 20 per 30 menys 30 al quadrat espai igual menys 300 espai m e t r e s

Significa que a les 30h el mòbil està a -300 metres de la posició inicial (o sigui està a 300 m de l'origen, però en sentit contrari)

c) Volem calcular la taxa de variació mitjana entre els valors x= 10 i  x=20

espai T V M claudàtor esquerre 20 coma 30 claudàtor dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre 30 parèntesi dret menys f parèntesi esquerre 20 parèntesi dret entre denominador 30 menys 20 fi fracció igual fracció numerador menys 300 menys 0 entre denominador 10 fi fracció igual envoltori caixa menys 30 espai m dividit per h fi envoltori

Significa que aquest mòbil ha retrocedit (ha anat cap a l'origen entre les 20h i les 30h a una "velocitat mitjana de 10m cada hora.


Exercici 2

      Pas 1. Cal conèixer les coordenades del punt A igual parèntesi esquerre a coma f parèntesi esquerre a parèntesi dret parèntesi dret, punt de la corba on es vol trobar la recta tangent

    x= 1

  • f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual fracció numerador 2 per parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més 2 entre denominador parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat menys parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més 2 fi fracció igual fracció 4 entre 2 igual 2

  • Per tant el punt A=(1,2)


      Pas 2 . Calcular f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret derivada de la funció f parèntesi esquerre x parèntesi dret

    • f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x més 2 entre denominador x al quadrat menys x més 2 fi fracció f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador parèntesi esquerre 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre x al quadrat menys x més 2 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 2 x més 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre 2 x menys 1 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x al quadrat menys x més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 2 x al quadrat menys 2 x més 4 menys parèntesi esquerre 4 x al quadrat menys 2 x més 4 x menys 2 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x al quadrat menys x més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x al quadrat menys 2 x més 4 menys 4 x al quadrat més 2 x menys 4 x més 2 entre denominador parèntesi esquerre x al quadrat menys x més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 x al quadrat menys 4 x més 6 entre denominador parèntesi esquerre x al quadrat menys x més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció



    • Pas 3. Calcular f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret que consisteix en substituir x=-1 en la funció derivada
    • f apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai igual fracció numerador menys 2 parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat menys 4 parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més 6 entre denominador parèntesi esquerre parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat menys parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 menys 4 més 6 entre denominador 4 fi fracció igual fracció 0 entre 4 igual 0



    • Pas 4. Escriure l'equació de la recta: y menys f parèntesi esquerre a parèntesi dret igual f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret parèntesi esquerre x menys a parèntesi dret

    • y menys f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai igual espai f apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai per espai parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret y menys 2 espai igual 0 per parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret envoltori caixa y igual 2 fi envoltori espai é s espai l apòstrof e q u a c i ó espai d e espai l a espai r e c t a espai tan g e n t espai a espai l a espai f u n c i ó espai e n espai e l espai p u n t parèntesi esquerre 1 coma 2 parèntesi dret




Exercici 3

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la a x al quadrat menys x espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai x menor que 1 fi cel·la fila cel·la x al quadrat més b x menys 4 espai espai espai s i espai espai espai x major o igual que 1 fi cel·la fi taula tanca

Per què la funció f(x) sigui derivable ha de ser contínua i per tant s'ha de complir que pila l i m amb x fletxa dreta 1 elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta 1 elevat a més a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret

pila l i m amb x fletxa dreta 1 elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta 1 elevat a menys a sota a x al quadrat menys x espai igual espai a parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat menys parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai igual espai a menys 1 pila l i m amb x fletxa dreta 1 més a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta 1 elevat a més a sota x al quadrat més b x espai menys 4 igual parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat més b parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai menys 4 igual espai 1 més b menys 4 f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual parèntesi esquerre 1 parèntesi dret al quadrat més b parèntesi esquerre 1 parèntesi dret espai menys 4 igual espai 1 més b menys 4


Aquest tres valors han de coincidir :

a menys 1 igual 1 més b menys 4 espai fletxa doble esquerra i dreta envoltori caixa espai a menys b igual menys 2 fi envoltori


Per què la funció sigui derivable, les derivades laterals en el punt x=1 han d'existir i han de ser iguals:

f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 a x menys 1 espai espai p e r espai l apòstrof e s q u e r r a espai d e espai x igual 1 espai fletxa doble dreta f apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual 2 a parèntesi esquerre 1 parèntesi dret menys 1 igual 2 a menys 1 f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x més b espai espai espai espai p e r espai l a espai d r e t a espai d e espai x igual 1 espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta f apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual 2 parèntesi esquerre 1 parèntesi dret més b igual 2 més b

Aquest dos valors han de coincidir:  2 a menys 1 igual 2 més b espai fletxa doble dreta envoltori caixa 2 a menys b igual 3 fi envoltori



Amb les dues equacions que hem emmarcat poden trobar a i b

obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la a menys b igual menys 2 fi cel·la fila cel·la 2 a menys b igual 3 fi cel·la fi taula tanca fletxa doble dreta a igual 5 espai espai i espai b igual 7

I la funció f(x) i f'(x) derivada seran :

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 5 x al quadrat menys x espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai x menor que 1 fi cel·la fila cel·la x al quadrat més 7 x menys 4 espai espai espai s i espai espai espai x major o igual que 1 fi cel·la fi taula tanca espai espai i espai espai espai espai espai f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 10 x menys 1 espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai x menor que 1 fi cel·la fila cel·la 2 x més 7 espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai x major o igual que 1 fi cel·la fi taula tanca



Darrera modificació: diumenge, 10 de novembre 2019, 19:12