Exercici 1 (7 punts)


f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left espacement de colonne 1.4ex fin des attributs ligne cellule numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur 3 x moins 2 fin de la fraction fin de cellule cellule s i espace x inférieur ou égal à moins 1 fin de cellule ligne cellule bold italic m x moins 1 fin de cellule cellule s i espace moins 1 inférieur à x inférieur à 2 fin de cellule ligne cellule bold italic b x au carré plus 2 x fin de cellule cellule s i espace x supérieur ou égal à 2 fin de cellule fin de tableau fin


a) Quin és el domini de la funció? Cal estudiar el domini en cada una de les parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.
b) Quin valor ha de tenir "b" i "m"per tal que la funció sigui contínua en x = -1 i en x = 2? Quins límits laterals s'han de calcular?
c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat, i cas que n'hi hagi de quin tipus de discontinuïtat es tracta

Resposta:

  • a) Domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I Punt de transició entre
 la part I i la II   
 Part II 
Punt de transició entre
 la part II i la III		 part  III
g parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur 3 x moins 2 fin de la fraction

Punt x = -1


p(x) = mx-1 x= 2
 h(x) =bx2+2x

g(x) és una funció racional.

I és discontínua en els punts on s'anul·la  el denominador. 

3x-2=0---> x=2/3


f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur moins 3 moins 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur moins 5 fin de la fraction


p(x) és una funció polinòmica i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domini

punt x = 2

f(2)=b(2)2+2(2)=4b+4

h(x)  és una funció polinòmica

i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domin
Dom g(x) =  Reals-{2/3} però x=2/3 no és d'aquesta part
  x = -1 és del domini
 Dom h(x) = Reals  x = 2 és del domini
Dom h(x) = Reals
Per tant  Dom f(x) = Reals


  • b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en x = -1? 

Recordeu que una funció és contínua en un punt x0  :

\small {\lim} \limits_{x \to x_0^+}{f(x)}= \small {\lim} \limits_{x \to x_0^-}{f(x)}={f(x_0)}

Estudiarem el comportament de la funció en x = -1

  empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance moins en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance moins en dessous espace espace numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur 3 x moins 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur moins 3 moins 2 fin de la fraction espace égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur moins 5 fin de la fraction  A l'esquerra de -1 li correspon la funció de la part I
  empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance plus en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance plus en dessous m x moins 1 égal à m parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite moins 1 égal à moins m moins 1  A la dreta de -1 li correspon la funció de la part II

f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur moins 3 moins 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction



Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que:

   numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction égal à moins m moins 1 espace espace espace double flèche vers la droite cadre englobant m égal à numérateur de la fraction moins 3 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction fin

  • Repetim aquest mateix procediment per a x=2 . Estudiarem el comportament de la funció en x =2
limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de m x moins 1 espace égal à m parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace moins 1 espace égal à espace 2 fois parenthèse gauche numérateur de la fraction moins 3 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction parenthèse droite moins 1 espace égal à espace numérateur de la fraction moins 6 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction moins 1 égal à numérateur de la fraction moins 11 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de b x au carré plus 2 x égal à b fois 2 au carré plus 2 fois 2 égal à 4 b plus 4 f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à b fois 2 au carré plus 2 fois 2 égal à 4 b plus 4


Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que :   4 b plus 4 égal à numérateur de la fraction moins 11 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction espace espace espace double flèche vers la droite 4 b égal à numérateur de la fraction moins 11 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction moins 4 gras double flèche vers la droite 4 b égal à numérateur de la fraction moins 31 au-dessus du dénominateur 5 fin de la fraction double flèche vers la droite cadre englobant b égal à numérateur de la fraction moins 31 au-dessus du dénominateur 20 fin de la fraction fin


 
  • c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat.

S'hauria  d'estudiar en x = 2/3 , però  aquest punt  correspon a la part II, on la funció és contínua en tots els seus punts. En tots cas, podríem comprovar-ho amb els límits

  •  Si en aquest punt presenta discontinuïtat, argumenta raonadament  de quin tipus és. 
Cal estudiar els límits laterals en x=2/3
limite avec x flèche vers la droite ouvrir la parenthèse 2 sur 3 fermer la parenthèse puissance moins de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace limite avec x flèche vers la droite ouvrir la parenthèse 2 sur 3 fermer la parenthèse puissance moins de m 2 sur 3 moins 1 égal à numérateur de la fraction 2 m au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction moins 1 limite avec x flèche vers la droite ouvrir la parenthèse 2 sur 3 fermer la parenthèse puissance plus de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace limite avec x flèche vers la droite ouvrir la parenthèse 2 sur 3 fermer la parenthèse puissance plus de m 2 sur 3 moins 1 égal à numérateur de la fraction 2 m au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction moins 1
f parenthèse gauche 2 sur 3 parenthèse droite espace égal à espace égal à numérateur de la fraction 2 m au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction moins 1

    I aquest tres valors són coincidents, per tant la funció és contínua en x=2/3.


    Per tant la funció f(x) és contínua en tots els valor reals



     

         Exercici 2 (3 punts)

    Comproveu, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció   f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 2 x au cube moins x moins 10 té una arrel en l’interval [1,3], o el que és el mateix : l'equació 2 x au cube moins x moins 10 égal à 0  té una solució en l'interval [1,3]
    Aproximeu el seu valor fins les dècimes.
    Argumenteu detalladament el procediment.



    Resposta:

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  [1,3]

    a = 1

    b = 3

    La funció es continua en aquest interval, ja que és una funció polinòmica

    début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule f espace c o n t í n u a espace e n espace parenthèse gauche 1 virgule 3 parenthèse droite fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 1 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 1 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 1 parenthèse droite moins 10 égal à moins 9 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 3 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 3 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 3 parenthèse droite moins 10 égal à 41 supérieur à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite a p l i c a n t espace e l espace t e r o e m a espace d e espace B o l z a n o virgule espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace t a l espace q u e espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à 0 espace espace o espace s i g u i espace h i a espace h a espace u n espace v a l o r espace e n t r e espace 1 espace i espace 3 espace q u e espace é s espace s o l u c i ó espace d e espace l apostrophe e q u a c i ó espace 2 x au cube moins x moins 10 égal à 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 2  x=2,1   x= 2,2    x= 2,3 ...o   x= 2,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  3) en dos subintervals per exemple (1,  2) i (2  , 3) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  (1,2)


    début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule f espace c o n t í n u a espace e n espace parenthèse gauche 1 virgule 2 parenthèse droite fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 1 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 1 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 1 parenthèse droite moins 10 égal à moins 9 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 2 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 2 parenthèse droite moins 10 égal à 4 supérieur à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite a p l i c a n t espace e l espace t e r o e m a espace d e espace B o l z a n o virgule espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace t a l espace q u e espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à 0 espace espace o espace s i g u i espace h i espace h a espace u n espace v a l o r espace e n t r e espace 1 espace i espace 2 espace q u e espace é s espace s o l u c i ó espace d e espace l apostrophe e q u a c i ó espace 2 x au cube moins x moins 10 égal à 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 1,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  2) en dos subintervals per exemple (1,  1,5) i (1,5  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1  ,  1,5)

     


    début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule f espace c o n t í n u a espace e n espace parenthèse gauche 1 virgule espace espace 1 virgule 5 parenthèse droite fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 1 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 1 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 1 parenthèse droite moins 10 égal à moins 9 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite moins 10 égal à moins 4 virgule 75 inférieur à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite N o espace e s espace c u m p l e i x e n espace l e s espace c o n d i c i o n s espace d e l espace t e r o e m a espace d e espace B o l z a n o virgule espace n o espace p o d e m espace d i r espace s i espace h i espace h a espace o espace n o espace u n a espace s o l u c i ó espace e n espace a q u e s t espace i n t e r v a l


    Per tant aplicarem el Teorema en l'interval (1,5  ,  2)


    début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule f espace c o n t í n u a espace e n espace parenthèse gauche 1 virgule 5 espace espace virgule espace 2 parenthèse droite fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite moins 10 égal à moins 9 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à 2 parenthèse gauche 2 parenthèse droite au cube moins parenthèse gauche 2 parenthèse droite moins 10 égal à 4 supérieur à 0 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite a p l i c a n t espace e l espace t e r o e m a espace d e espace B o l z a n o virgule espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace t a l espace q u e espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à 0 espace espace o espace s i g u i espace h i espace h a espace u n espace v a l o r espace e n t r e espace 1 virgule 5 espace i espace 2 espace q u e espace é s espace s o l u c i ó espace d e espace l apostrophe e q u a c i ó espace 2 x au cube moins x moins 10 égal à 0


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,5 i 2  que és solució de l'equació. --> Existeix c del interval(1,5,  2)  tal que  f(c) = 0

    Per tant el valor que busquem serà x=1,5   x= 1,6    x= 1,7 ,.. o x= 1,9


    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada

    Separarem l'interval (1,5,   2) en dos subintervals per exemple (1,5,  1,7) i (1,7  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1,7  , 2)


    a = 1,7

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,7) = 2·(1,7)3 -1,7-10  =-1,874< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,7 i 2, però observeu que ja estem molt a prop

    La solució està entre 1,7 i 2 però molt a prop de 1,7


    Provarem en l'interval (1,8  ,  2)

    a = 1,8

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,8 i 2 , però observeu que ja estem molt a prop de l'1,8


    Repetim:

    Provarem en l'interval (1,8  ,  1,9)

    a = 1,8

    b = 1,9

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(1,9) = 2·(1,9)3 -1,9-10  = 1,818> 0

    La solució està entre 1,8 i 1,9, per tant ja hem trobat el primer decimal de la solució.


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,8 i 1,9 que és solució de l'equació. --> Existeix c de l'interval (1,8  , 1,9)  tal que  f(c) = 0

    Per tant és un valor entre 1,8 i 1,9 per tant la solució serà 1,8...

    La resposta és doncs : La solució d'aquesta equació és  x ≈ 1,8

     

    Modifié le: lundi 28 octobre 2019, 10:32