Exercici 1 (7 punts)


f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left espacio columnas 1.4ex fin atributos fila celda fracción numerador 2 entre denominador 3 x menos 2 fin fracción fin celda celda s i espacio x menor o igual que menos 1 fin celda fila celda bold italic m x menos 1 fin celda celda s i espacio menos 1 menor que x menor que 2 fin celda fila celda bold italic b x al cuadrado más 2 x fin celda celda s i espacio x mayor o igual que 2 fin celda fin tabla cerrar


a) Quin és el domini de la funció? Cal estudiar el domini en cada una de les parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.
b) Quin valor ha de tenir "b" i "m"per tal que la funció sigui contínua en x = -1 i en x = 2? Quins límits laterals s'han de calcular?
c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat, i cas que n'hi hagi de quin tipus de discontinuïtat es tracta

Resposta:

  • a) Domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I Punt de transició entre
 la part I i la II   
 Part II 
Punt de transició entre
 la part II i la III		 part  III
g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador 2 entre denominador 3 x menos 2 fin fracción

Punt x = -1


p(x) = mx-1 x= 2
 h(x) =bx2+2x

g(x) és una funció racional.

I és discontínua en els punts on s'anul·la  el denominador. 

3x-2=0---> x=2/3


f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho igual fracción numerador 2 entre denominador menos 3 menos 2 fin fracción igual fracción numerador 2 entre denominador menos 5 fin fracción


p(x) és una funció polinòmica i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domini

punt x = 2

f(2)=b(2)2+2(2)=4b+4

h(x)  és una funció polinòmica

i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domin
Dom g(x) =  Reals-{2/3} però x=2/3 no és d'aquesta part
  x = -1 és del domini
 Dom h(x) = Reals  x = 2 és del domini
Dom h(x) = Reals
Per tant  Dom f(x) = Reals


  • b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en x = -1? 

Recordeu que una funció és contínua en un punt x0  :

\small {\lim} \limits_{x \to x_0^+}{f(x)}= \small {\lim} \limits_{x \to x_0^-}{f(x)}={f(x_0)}

Estudiarem el comportament de la funció en x = -1

  pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a menos debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a menos debajo espacio espacio fracción numerador 2 entre denominador 3 x menos 2 fin fracción igual fracción numerador 2 entre denominador menos 3 menos 2 fin fracción espacio igual fracción numerador 2 entre denominador menos 5 fin fracción  A l'esquerra de -1 li correspon la funció de la part I
  pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a más debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a más debajo m x menos 1 igual m paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho menos 1 igual menos m menos 1  A la dreta de -1 li correspon la funció de la part II

f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho igual fracción numerador 2 entre denominador menos 3 menos 2 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 5 fin fracción



Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que:

   fracción numerador menos 2 entre denominador 5 fin fracción igual menos m menos 1 espacio espacio espacio flecha doble derecha envoltorio caja m igual fracción numerador menos 3 entre denominador 5 fin fracción fin envoltorio

  • Repetim aquest mateix procediment per a x=2 . Estudiarem el comportament de la funció en x =2
límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de m x menos 1 espacio igual m paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio menos 1 espacio igual espacio 2 por paréntesis izquierdo fracción numerador menos 3 entre denominador 5 fin fracción paréntesis derecho menos 1 espacio igual espacio fracción numerador menos 6 entre denominador 5 fin fracción menos 1 igual fracción numerador menos 11 entre denominador 5 fin fracción límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de b x al cuadrado más 2 x igual b por 2 al cuadrado más 2 por 2 igual 4 b más 4 f paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual b por 2 al cuadrado más 2 por 2 igual 4 b más 4


Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que :   4 b más 4 igual fracción numerador menos 11 entre denominador 5 fin fracción espacio espacio espacio flecha doble derecha 4 b igual fracción numerador menos 11 entre denominador 5 fin fracción menos 4 negrita flecha doble derecha 4 b igual fracción numerador menos 31 entre denominador 5 fin fracción flecha doble derecha envoltorio caja b igual fracción numerador menos 31 entre denominador 20 fin fracción fin envoltorio


 
  • c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat.

S'hauria  d'estudiar en x = 2/3 , però  aquest punt  correspon a la part II, on la funció és contínua en tots els seus punts. En tots cas, podríem comprovar-ho amb els límits

  •  Si en aquest punt presenta discontinuïtat, argumenta raonadament  de quin tipus és. 
Cal estudiar els límits laterals en x=2/3
límite cuando x flecha derecha abrir paréntesis fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a menos de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual espacio límite cuando x flecha derecha abrir paréntesis fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a menos de m fracción 2 entre 3 menos 1 igual fracción numerador 2 m entre denominador 3 fin fracción menos 1 límite cuando x flecha derecha abrir paréntesis fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a más de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual espacio límite cuando x flecha derecha abrir paréntesis fracción 2 entre 3 cerrar paréntesis elevado a más de m fracción 2 entre 3 menos 1 igual fracción numerador 2 m entre denominador 3 fin fracción menos 1
f paréntesis izquierdo fracción 2 entre 3 paréntesis derecho espacio igual espacio igual fracción numerador 2 m entre denominador 3 fin fracción menos 1

    I aquest tres valors són coincidents, per tant la funció és contínua en x=2/3.


    Per tant la funció f(x) és contínua en tots els valor reals



     

         Exercici 2 (3 punts)

    Comproveu, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció   f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 2 x al cubo menos x menos 10 té una arrel en l’interval [1,3], o el que és el mateix : l'equació 2 x al cubo menos x menos 10 igual 0  té una solució en l'interval [1,3]
    Aproximeu el seu valor fins les dècimes.
    Argumenteu detalladament el procediment.



    Resposta:

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  [1,3]

    a = 1

    b = 3

    La funció es continua en aquest interval, ja que és una funció polinòmica

    abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda f espacio c o n t í n u a espacio e n espacio paréntesis izquierdo 1 coma 3 paréntesis derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho menos 10 igual menos 9 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 3 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 3 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 3 paréntesis derecho menos 10 igual 41 mayor que 0 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha a p l i c a n t espacio e l espacio t e r o e m a espacio d e espacio B o l z a n o coma espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio t a l espacio q u e espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual 0 espacio espacio o espacio s i g u i espacio h i a espacio h a espacio u n espacio v a l o r espacio e n t r e espacio 1 espacio i espacio 3 espacio q u e espacio é s espacio s o l u c i ó espacio d e espacio l apóstrofo e q u a c i ó espacio 2 x al cubo menos x menos 10 igual 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 2  x=2,1   x= 2,2    x= 2,3 ...o   x= 2,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  3) en dos subintervals per exemple (1,  2) i (2  , 3) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  (1,2)


    abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda f espacio c o n t í n u a espacio e n espacio paréntesis izquierdo 1 coma 2 paréntesis derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho menos 10 igual menos 9 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho menos 10 igual 4 mayor que 0 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha a p l i c a n t espacio e l espacio t e r o e m a espacio d e espacio B o l z a n o coma espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio t a l espacio q u e espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual 0 espacio espacio o espacio s i g u i espacio h i espacio h a espacio u n espacio v a l o r espacio e n t r e espacio 1 espacio i espacio 2 espacio q u e espacio é s espacio s o l u c i ó espacio d e espacio l apóstrofo e q u a c i ó espacio 2 x al cubo menos x menos 10 igual 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 1,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  2) en dos subintervals per exemple (1,  1,5) i (1,5  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1  ,  1,5)

     


    abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda f espacio c o n t í n u a espacio e n espacio paréntesis izquierdo 1 coma espacio espacio 1 coma 5 paréntesis derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho menos 10 igual menos 9 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho menos 10 igual menos 4 coma 75 menor que 0 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha N o espacio e s espacio c u m p l e i x e n espacio l e s espacio c o n d i c i o n s espacio d e l espacio t e r o e m a espacio d e espacio B o l z a n o coma espacio n o espacio p o d e m espacio d i r espacio s i espacio h i espacio h a espacio o espacio n o espacio u n a espacio s o l u c i ó espacio e n espacio a q u e s t espacio i n t e r v a l


    Per tant aplicarem el Teorema en l'interval (1,5  ,  2)


    abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda f espacio c o n t í n u a espacio e n espacio paréntesis izquierdo 1 coma 5 espacio espacio coma espacio 2 paréntesis derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho menos 10 igual menos 9 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 2 paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho al cubo menos paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho menos 10 igual 4 mayor que 0 fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha a p l i c a n t espacio e l espacio t e r o e m a espacio d e espacio B o l z a n o coma espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio t a l espacio q u e espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual 0 espacio espacio o espacio s i g u i espacio h i espacio h a espacio u n espacio v a l o r espacio e n t r e espacio 1 coma 5 espacio i espacio 2 espacio q u e espacio é s espacio s o l u c i ó espacio d e espacio l apóstrofo e q u a c i ó espacio 2 x al cubo menos x menos 10 igual 0


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,5 i 2  que és solució de l'equació. --> Existeix c del interval(1,5,  2)  tal que  f(c) = 0

    Per tant el valor que busquem serà x=1,5   x= 1,6    x= 1,7 ,.. o x= 1,9


    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada

    Separarem l'interval (1,5,   2) en dos subintervals per exemple (1,5,  1,7) i (1,7  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1,7  , 2)


    a = 1,7

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,7) = 2·(1,7)3 -1,7-10  =-1,874< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,7 i 2, però observeu que ja estem molt a prop

    La solució està entre 1,7 i 2 però molt a prop de 1,7


    Provarem en l'interval (1,8  ,  2)

    a = 1,8

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,8 i 2 , però observeu que ja estem molt a prop de l'1,8


    Repetim:

    Provarem en l'interval (1,8  ,  1,9)

    a = 1,8

    b = 1,9

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(1,9) = 2·(1,9)3 -1,9-10  = 1,818> 0

    La solució està entre 1,8 i 1,9, per tant ja hem trobat el primer decimal de la solució.


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,8 i 1,9 que és solució de l'equació. --> Existeix c de l'interval (1,8  , 1,9)  tal que  f(c) = 0

    Per tant és un valor entre 1,8 i 1,9 per tant la solució serà 1,8...

    La resposta és doncs : La solució d'aquesta equació és  x ≈ 1,8

     

    Última modificación: lunes, 28 de octubre de 2019, 10:32