Exercici 1 (7 punts)


f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1.4ex end attributes row cell fraction numerator 2 over denominator 3 x minus 2 end fraction end cell cell s i space x less or equal than negative 1 end cell row cell bold italic m x minus 1 end cell cell s i space minus 1 less than x less than 2 end cell row cell bold italic b x squared plus 2 x end cell cell s i space x greater or equal than 2 end cell end table close


a) Quin és el domini de la funció? Cal estudiar el domini en cada una de les parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.
b) Quin valor ha de tenir "b" i "m"per tal que la funció sigui contínua en x = -1 i en x = 2? Quins límits laterals s'han de calcular?
c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat, i cas que n'hi hagi de quin tipus de discontinuïtat es tracta

Resposta:

  • a) Domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I Punt de transició entre
 la part I i la II   
 Part II 
Punt de transició entre
 la part II i la III		 part  III
g left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 x minus 2 end fraction

Punt x = -1


p(x) = mx-1 x= 2
 h(x) =bx2+2x

g(x) és una funció racional.

I és discontínua en els punts on s'anul·la  el denominador. 

3x-2=0---> x=2/3


f left parenthesis negative 1 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator negative 3 minus 2 end fraction equals fraction numerator 2 over denominator negative 5 end fraction


p(x) és una funció polinòmica i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domini

punt x = 2

f(2)=b(2)2+2(2)=4b+4

h(x)  és una funció polinòmica

i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domin
Dom g(x) =  Reals-{2/3} però x=2/3 no és d'aquesta part
  x = -1 és del domini
 Dom h(x) = Reals  x = 2 és del domini
Dom h(x) = Reals
Per tant  Dom f(x) = Reals


  • b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en x = -1? 

Recordeu que una funció és contínua en un punt x0  :

\small {\lim} \limits_{x \to x_0^+}{f(x)}= \small {\lim} \limits_{x \to x_0^-}{f(x)}={f(x_0)}

Estudiarem el comportament de la funció en x = -1

  stack l i m with x rightwards arrow left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of minus below f left parenthesis x right parenthesis equals stack l i m with x rightwards arrow left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of minus below space space fraction numerator 2 over denominator 3 x minus 2 end fraction equals fraction numerator 2 over denominator negative 3 minus 2 end fraction space equals fraction numerator 2 over denominator negative 5 end fraction  A l'esquerra de -1 li correspon la funció de la part I
  stack l i m with x rightwards arrow left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of plus below f left parenthesis x right parenthesis equals stack l i m with x rightwards arrow left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of plus below m x minus 1 equals m left parenthesis negative 1 right parenthesis minus 1 equals negative m minus 1  A la dreta de -1 li correspon la funció de la part II

f left parenthesis negative 1 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator negative 3 minus 2 end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator 5 end fraction



Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que:

   fraction numerator negative 2 over denominator 5 end fraction equals negative m minus 1 space space space rightwards double arrow box enclose m equals fraction numerator negative 3 over denominator 5 end fraction end enclose

  • Repetim aquest mateix procediment per a x=2 . Estudiarem el comportament de la funció en x =2
limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of m x minus 1 space equals m left parenthesis 2 right parenthesis space minus 1 space equals space 2 times left parenthesis fraction numerator negative 3 over denominator 5 end fraction right parenthesis minus 1 space equals space fraction numerator negative 6 over denominator 5 end fraction minus 1 equals fraction numerator negative 11 over denominator 5 end fraction limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of b x squared plus 2 x equals b times 2 squared plus 2 times 2 equals 4 b plus 4 f left parenthesis 2 right parenthesis equals b times 2 squared plus 2 times 2 equals 4 b plus 4


Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que :   4 b plus 4 equals fraction numerator negative 11 over denominator 5 end fraction space space space rightwards double arrow 4 b equals fraction numerator negative 11 over denominator 5 end fraction minus 4 bold rightwards double arrow 4 b equals fraction numerator negative 31 over denominator 5 end fraction rightwards double arrow box enclose b equals fraction numerator negative 31 over denominator 20 end fraction end enclose


 
  • c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat.

S'hauria  d'estudiar en x = 2/3 , però  aquest punt  correspon a la part II, on la funció és contínua en tots els seus punts. En tots cas, podríem comprovar-ho amb els límits

  •  Si en aquest punt presenta discontinuïtat, argumenta raonadament  de quin tipus és. 
Cal estudiar els límits laterals en x=2/3
limit as x rightwards arrow open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of minus of f left parenthesis x right parenthesis space equals space limit as x rightwards arrow open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of minus of m 2 over 3 minus 1 equals fraction numerator 2 m over denominator 3 end fraction minus 1 limit as x rightwards arrow open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of plus of f left parenthesis x right parenthesis space equals space limit as x rightwards arrow open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of plus of m 2 over 3 minus 1 equals fraction numerator 2 m over denominator 3 end fraction minus 1
f left parenthesis 2 over 3 right parenthesis space equals space equals fraction numerator 2 m over denominator 3 end fraction minus 1

    I aquest tres valors són coincidents, per tant la funció és contínua en x=2/3.


    Per tant la funció f(x) és contínua en tots els valor reals



     

         Exercici 2 (3 punts)

    Comproveu, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció   f left parenthesis x right parenthesis equals 2 x cubed minus x minus 10 té una arrel en l’interval [1,3], o el que és el mateix : l'equació 2 x cubed minus x minus 10 equals 0  té una solució en l'interval [1,3]
    Aproximeu el seu valor fins les dècimes.
    Argumenteu detalladament el procediment.



    Resposta:

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  [1,3]

    a = 1

    b = 3

    La funció es continua en aquest interval, ja que és una funció polinòmica

    open table attributes columnalign right end attributes row cell f space c o n t í n u a space e n space left parenthesis 1 comma 3 right parenthesis end cell row cell f left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 left parenthesis 1 right parenthesis cubed minus left parenthesis 1 right parenthesis minus 10 equals negative 9 less than 0 end cell row cell f left parenthesis 3 right parenthesis equals 2 left parenthesis 3 right parenthesis cubed minus left parenthesis 3 right parenthesis minus 10 equals 41 greater than 0 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow a p l i c a n t space e l space t e r o e m a space d e space B o l z a n o comma space e x i s t e i x space u n space v a l o r space " c " space t a l space q u e space f left parenthesis c right parenthesis space equals 0 space space o space s i g u i space h i a space h a space u n space v a l o r space e n t r e space 1 space i space 3 space q u e space é s space s o l u c i ó space d e space l apostrophe e q u a c i ó space 2 x cubed minus x minus 10 equals 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 2  x=2,1   x= 2,2    x= 2,3 ...o   x= 2,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  3) en dos subintervals per exemple (1,  2) i (2  , 3) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  (1,2)


    open table attributes columnalign right end attributes row cell f space c o n t í n u a space e n space left parenthesis 1 comma 2 right parenthesis end cell row cell f left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 left parenthesis 1 right parenthesis cubed minus left parenthesis 1 right parenthesis minus 10 equals negative 9 less than 0 end cell row cell f left parenthesis 2 right parenthesis equals 2 left parenthesis 2 right parenthesis cubed minus left parenthesis 2 right parenthesis minus 10 equals 4 greater than 0 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow a p l i c a n t space e l space t e r o e m a space d e space B o l z a n o comma space e x i s t e i x space u n space v a l o r space " c " space t a l space q u e space f left parenthesis c right parenthesis space equals 0 space space o space s i g u i space h i space h a space u n space v a l o r space e n t r e space 1 space i space 2 space q u e space é s space s o l u c i ó space d e space l apostrophe e q u a c i ó space 2 x cubed minus x minus 10 equals 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 1,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  2) en dos subintervals per exemple (1,  1,5) i (1,5  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1  ,  1,5)

     


    open table attributes columnalign right end attributes row cell f space c o n t í n u a space e n space left parenthesis 1 comma space space 1 comma 5 right parenthesis end cell row cell f left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 left parenthesis 1 right parenthesis cubed minus left parenthesis 1 right parenthesis minus 10 equals negative 9 less than 0 end cell row cell f left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis equals 2 left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis cubed minus left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis minus 10 equals negative 4 comma 75 less than 0 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow N o space e s space c u m p l e i x e n space l e s space c o n d i c i o n s space d e l space t e r o e m a space d e space B o l z a n o comma space n o space p o d e m space d i r space s i space h i space h a space o space n o space u n a space s o l u c i ó space e n space a q u e s t space i n t e r v a l


    Per tant aplicarem el Teorema en l'interval (1,5  ,  2)


    open table attributes columnalign right end attributes row cell f space c o n t í n u a space e n space left parenthesis 1 comma 5 space space comma space 2 right parenthesis end cell row cell f left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis equals 2 left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis cubed minus left parenthesis 1 comma 5 right parenthesis minus 10 equals negative 9 less than 0 end cell row cell f left parenthesis 2 right parenthesis equals 2 left parenthesis 2 right parenthesis cubed minus left parenthesis 2 right parenthesis minus 10 equals 4 greater than 0 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow a p l i c a n t space e l space t e r o e m a space d e space B o l z a n o comma space e x i s t e i x space u n space v a l o r space " c " space t a l space q u e space f left parenthesis c right parenthesis space equals 0 space space o space s i g u i space h i space h a space u n space v a l o r space e n t r e space 1 comma 5 space i space 2 space q u e space é s space s o l u c i ó space d e space l apostrophe e q u a c i ó space 2 x cubed minus x minus 10 equals 0


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,5 i 2  que és solució de l'equació. --> Existeix c del interval(1,5,  2)  tal que  f(c) = 0

    Per tant el valor que busquem serà x=1,5   x= 1,6    x= 1,7 ,.. o x= 1,9


    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada

    Separarem l'interval (1,5,   2) en dos subintervals per exemple (1,5,  1,7) i (1,7  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1,7  , 2)


    a = 1,7

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,7) = 2·(1,7)3 -1,7-10  =-1,874< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,7 i 2, però observeu que ja estem molt a prop

    La solució està entre 1,7 i 2 però molt a prop de 1,7


    Provarem en l'interval (1,8  ,  2)

    a = 1,8

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,8 i 2 , però observeu que ja estem molt a prop de l'1,8


    Repetim:

    Provarem en l'interval (1,8  ,  1,9)

    a = 1,8

    b = 1,9

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(1,9) = 2·(1,9)3 -1,9-10  = 1,818> 0

    La solució està entre 1,8 i 1,9, per tant ja hem trobat el primer decimal de la solució.


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,8 i 1,9 que és solució de l'equació. --> Existeix c de l'interval (1,8  , 1,9)  tal que  f(c) = 0

    Per tant és un valor entre 1,8 i 1,9 per tant la solució serà 1,8...

    La resposta és doncs : La solució d'aquesta equació és  x ≈ 1,8

     

    Last modified: Monday, 28 October 2019, 10:32 AM