Exercici 1 (7 punts)


f linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Spaltenausrichtung 1.4ex Ende Attribute Zeile Zelle Zähler 2 geteilt durch Nenner 3 x minus 2 Bruchergebnis Ende Zelle Zelle s i Leerzeichen x kleiner oder gleich minus 1 Ende Zelle Zeile Zelle bold italic m x minus 1 Ende Zelle Zelle s i Leerzeichen minus 1 kleiner als x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle bold italic b x im Quadrat plus 2 x Ende Zelle Zelle s i Leerzeichen x größer oder gleich 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen


a) Quin és el domini de la funció? Cal estudiar el domini en cada una de les parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.
b) Quin valor ha de tenir "b" i "m"per tal que la funció sigui contínua en x = -1 i en x = 2? Quins límits laterals s'han de calcular?
c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat, i cas que n'hi hagi de quin tipus de discontinuïtat es tracta

Resposta:

  • a) Domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I Punt de transició entre
 la part I i la II   
 Part II 
Punt de transició entre
 la part II i la III		 part  III
g linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner 3 x minus 2 Bruchergebnis

Punt x = -1


p(x) = mx-1 x= 2
 h(x) =bx2+2x

g(x) és una funció racional.

I és discontínua en els punts on s'anul·la  el denominador. 

3x-2=0---> x=2/3


f linke klammer minus 1 rechte klammer gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner minus 3 minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner minus 5 Bruchergebnis


p(x) és una funció polinòmica i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domini

punt x = 2

f(2)=b(2)2+2(2)=4b+4

h(x)  és una funció polinòmica

i per tant contínua.      

No hi ha punts conflictius pel domin
Dom g(x) =  Reals-{2/3} però x=2/3 no és d'aquesta part
  x = -1 és del domini
 Dom h(x) = Reals  x = 2 és del domini
Dom h(x) = Reals
Per tant  Dom f(x) = Reals


  • b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en x = -1? 

Recordeu que una funció és contínua en un punt x0  :

\small {\lim} \limits_{x \to x_0^+}{f(x)}= \small {\lim} \limits_{x \to x_0^-}{f(x)}={f(x_0)}

Estudiarem el comportament de la funció en x = -1

  Stapel l i m mit x rechtspfeil linke klammer minus 1 rechte klammer hoch minus darunter f linke klammer x rechte klammer gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil linke klammer minus 1 rechte klammer hoch minus darunter Leerzeichen Leerzeichen Zähler 2 geteilt durch Nenner 3 x minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner minus 3 minus 2 Bruchergebnis Leerzeichen gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner minus 5 Bruchergebnis  A l'esquerra de -1 li correspon la funció de la part I
  Stapel l i m mit x rechtspfeil linke klammer minus 1 rechte klammer hoch plus darunter f linke klammer x rechte klammer gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil linke klammer minus 1 rechte klammer hoch plus darunter m x minus 1 gleich m linke klammer minus 1 rechte klammer minus 1 gleich minus m minus 1  A la dreta de -1 li correspon la funció de la part II

f linke klammer minus 1 rechte klammer gleich Zähler 2 geteilt durch Nenner minus 3 minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis



Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que:

   Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis gleich minus m minus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Feld eingeschlossen m gleich Zähler minus 3 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis Ende

  • Repetim aquest mateix procediment per a x=2 . Estudiarem el comportament de la funció en x =2
Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von m x minus 1 Leerzeichen gleich m linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen minus 1 Leerzeichen gleich Leerzeichen 2 mal linke klammer Zähler minus 3 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis rechte klammer minus 1 Leerzeichen gleich Leerzeichen Zähler minus 6 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis minus 1 gleich Zähler minus 11 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von b x im Quadrat plus 2 x gleich b mal 2 im Quadrat plus 2 mal 2 gleich 4 b plus 4 f linke klammer 2 rechte klammer gleich b mal 2 im Quadrat plus 2 mal 2 gleich 4 b plus 4


Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que :   4 b plus 4 gleich Zähler minus 11 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil 4 b gleich Zähler minus 11 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis minus 4 fett dicker rechtspfeil 4 b gleich Zähler minus 31 geteilt durch Nenner 5 Bruchergebnis dicker rechtspfeil Feld eingeschlossen b gleich Zähler minus 31 geteilt durch Nenner 20 Bruchergebnis Ende


 
  • c) Digues si hi ha algun altre punt on s'ha d'estudiar la continuïtat.

S'hauria  d'estudiar en x = 2/3 , però  aquest punt  correspon a la part II, on la funció és contínua en tots els seus punts. En tots cas, podríem comprovar-ho amb els límits

  •  Si en aquest punt presenta discontinuïtat, argumenta raonadament  de quin tipus és. 
Cal estudiar els límits laterals en x=2/3
Limes als x rechtspfeil Klammer öffnen 2 geteilt durch 3 Klammer schließen hoch minus von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen Limes als x rechtspfeil Klammer öffnen 2 geteilt durch 3 Klammer schließen hoch minus von m 2 geteilt durch 3 minus 1 gleich Zähler 2 m geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis minus 1 Limes als x rechtspfeil Klammer öffnen 2 geteilt durch 3 Klammer schließen hoch plus von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen Limes als x rechtspfeil Klammer öffnen 2 geteilt durch 3 Klammer schließen hoch plus von m 2 geteilt durch 3 minus 1 gleich Zähler 2 m geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis minus 1
f linke klammer 2 geteilt durch 3 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen gleich Zähler 2 m geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis minus 1

    I aquest tres valors són coincidents, per tant la funció és contínua en x=2/3.


    Per tant la funció f(x) és contínua en tots els valor reals



     

         Exercici 2 (3 punts)

    Comproveu, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció   f linke klammer x rechte klammer gleich 2 x hoch drei minus x minus 10 té una arrel en l’interval [1,3], o el que és el mateix : l'equació 2 x hoch drei minus x minus 10 gleich 0  té una solució en l'interval [1,3]
    Aproximeu el seu valor fins les dècimes.
    Argumenteu detalladament el procediment.



    Resposta:

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  [1,3]

    a = 1

    b = 3

    La funció es continua en aquest interval, ja que és una funció polinòmica

    öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen c o n t í n u a Leerzeichen e n Leerzeichen linke klammer 1 Komma 3 rechte klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 1 rechte klammer gleich 2 linke klammer 1 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 1 rechte klammer minus 10 gleich minus 9 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 3 rechte klammer gleich 2 linke klammer 3 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 3 rechte klammer minus 10 gleich 41 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil a p l i c a n t Leerzeichen e l Leerzeichen t e r o e m a Leerzeichen d e Leerzeichen B o l z a n o Komma Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen " c " Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen s i g u i Leerzeichen h i a Leerzeichen h a Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen e n t r e Leerzeichen 1 Leerzeichen i Leerzeichen 3 Leerzeichen q u e Leerzeichen é s Leerzeichen s o l u c i ó Leerzeichen d e Leerzeichen l apostroph e q u a c i ó Leerzeichen 2 x hoch drei minus x minus 10 gleich 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 2  x=2,1   x= 2,2    x= 2,3 ...o   x= 2,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  3) en dos subintervals per exemple (1,  2) i (2  , 3) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval  (1,2)


    öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen c o n t í n u a Leerzeichen e n Leerzeichen linke klammer 1 Komma 2 rechte klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 1 rechte klammer gleich 2 linke klammer 1 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 1 rechte klammer minus 10 gleich minus 9 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 2 rechte klammer gleich 2 linke klammer 2 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 2 rechte klammer minus 10 gleich 4 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil a p l i c a n t Leerzeichen e l Leerzeichen t e r o e m a Leerzeichen d e Leerzeichen B o l z a n o Komma Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen " c " Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen s i g u i Leerzeichen h i Leerzeichen h a Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen e n t r e Leerzeichen 1 Leerzeichen i Leerzeichen 2 Leerzeichen q u e Leerzeichen é s Leerzeichen s o l u c i ó Leerzeichen d e Leerzeichen l apostroph e q u a c i ó Leerzeichen 2 x hoch drei minus x minus 10 gleich 0


    Per tant el valor que busquem serà x=1,1   x= 1,2    x= 1,3 ...o   x= 1,9

    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada


    Separarem l'interval (1  ,  2) en dos subintervals per exemple (1,  1,5) i (1,5  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1  ,  1,5)

     


    öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen c o n t í n u a Leerzeichen e n Leerzeichen linke klammer 1 Komma Leerzeichen Leerzeichen 1 Komma 5 rechte klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 1 rechte klammer gleich 2 linke klammer 1 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 1 rechte klammer minus 10 gleich minus 9 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer gleich 2 linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer minus 10 gleich minus 4 Komma 75 kleiner als 0 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil N o Leerzeichen e s Leerzeichen c u m p l e i x e n Leerzeichen l e s Leerzeichen c o n d i c i o n s Leerzeichen d e l Leerzeichen t e r o e m a Leerzeichen d e Leerzeichen B o l z a n o Komma Leerzeichen n o Leerzeichen p o d e m Leerzeichen d i r Leerzeichen s i Leerzeichen h i Leerzeichen h a Leerzeichen o Leerzeichen n o Leerzeichen u n a Leerzeichen s o l u c i ó Leerzeichen e n Leerzeichen a q u e s t Leerzeichen i n t e r v a l


    Per tant aplicarem el Teorema en l'interval (1,5  ,  2)


    öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen c o n t í n u a Leerzeichen e n Leerzeichen linke klammer 1 Komma 5 Leerzeichen Leerzeichen Komma Leerzeichen 2 rechte klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer gleich 2 linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 1 Komma 5 rechte klammer minus 10 gleich minus 9 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 2 rechte klammer gleich 2 linke klammer 2 rechte klammer hoch drei minus linke klammer 2 rechte klammer minus 10 gleich 4 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil a p l i c a n t Leerzeichen e l Leerzeichen t e r o e m a Leerzeichen d e Leerzeichen B o l z a n o Komma Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen " c " Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen s i g u i Leerzeichen h i Leerzeichen h a Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen e n t r e Leerzeichen 1 Komma 5 Leerzeichen i Leerzeichen 2 Leerzeichen q u e Leerzeichen é s Leerzeichen s o l u c i ó Leerzeichen d e Leerzeichen l apostroph e q u a c i ó Leerzeichen 2 x hoch drei minus x minus 10 gleich 0


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,5 i 2  que és solució de l'equació. --> Existeix c del interval(1,5,  2)  tal que  f(c) = 0

    Per tant el valor que busquem serà x=1,5   x= 1,6    x= 1,7 ,.. o x= 1,9


    Repetint el Teorema de Bolzano en altres intervals  podrem esbrinar quina dècima té la solució buscada

    Separarem l'interval (1,5,   2) en dos subintervals per exemple (1,5,  1,7) i (1,7  , 2) i repetirem el Teorema de Bolzano.

    Apliquem el Teorema de Bolzano en l'interval (1,7  , 2)


    a = 1,7

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,7) = 2·(1,7)3 -1,7-10  =-1,874< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,7 i 2, però observeu que ja estem molt a prop

    La solució està entre 1,7 i 2 però molt a prop de 1,7


    Provarem en l'interval (1,8  ,  2)

    a = 1,8

    b = 2

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(2)  >0

    La solució està entre 1,8 i 2 , però observeu que ja estem molt a prop de l'1,8


    Repetim:

    Provarem en l'interval (1,8  ,  1,9)

    a = 1,8

    b = 1,9

    La funció es continua en aquest interval

    f(1,8) = 2·(1,8)3 -1,8-10  = -0,136< 0

    f(1,9) = 2·(1,9)3 -1,9-10  = 1,818> 0

    La solució està entre 1,8 i 1,9, per tant ja hem trobat el primer decimal de la solució.


    Es compleixen els requisits del Teorema i podem concloure que  hi ha un valor numèric entre 1,8 i 1,9 que és solució de l'equació. --> Existeix c de l'interval (1,8  , 1,9)  tal que  f(c) = 0

    Per tant és un valor entre 1,8 i 1,9 per tant la solució serà 1,8...

    La resposta és doncs : La solució d'aquesta equació és  x ≈ 1,8

     

    Zuletzt geändert: Montag, 28. Oktober 2019, 10:32