Exercici 1. 

a) Asímptota horitzontal de la funció: f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción


Tal i com s'explica en l'apartat : Asímptotes horitzontals del recurs : Resum conceptes bàsics del  lliurament 1

              Cal estudiar aquests límits en l'infinit de la funció proposada:

espacio espacio pila lim espacio espacio espacio espacio espacio con x flecha derecha menos infinito debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual espacio espacio negrita espacio negrita espacio pila l i m espacio espacio espacio espacio espacio espacio con x flecha derecha menos infinito debajo negrita espacio fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita más negrita infinito entre denominador negrita menos negrita infinito fin fracción negrita espacio I n d e t e r m i n a c i ó coma espacio q u e espacio s apóstrofo h a espacio d e espacio r e s o l d r e espacio u s a n t espacio l a espacio r e g l a espacio d e l s espacio g r a u s espacio pila lim espacio espacio espacio espacio espacio con normal x flecha derecha menos infinito debajo espacio fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción espacio igual más negrita infinito negrita espacio negrita espacio bold italic p bold italic e bold italic r negrita espacio bold italic q bold italic u bold italic è negrita espacio bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic p bold italic o bold italic l bold italic i bold italic n bold italic o bold italic m bold italic i negrita espacio bold italic d bold italic e negrita espacio bold italic m bold italic a bold italic j bold italic o bold italic r negrita espacio bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic d bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic n bold italic u bold italic m bold italic e bold italic r bold italic a bold italic d bold italic o bold italic r C o m espacio q u e espacio a q u e s t espacio l í m i t espacio bold italic n bold italic o negrita espacio bold italic e bold italic s negrita espacio bold italic u bold italic n negrita espacio bold italic n bold italic o bold italic m bold italic b bold italic r bold italic e negrita espacio bold italic r bold italic e bold italic a bold italic l espacio bold italic n bold italic o negrita espacio bold italic h bold italic i negrita espacio bold italic h bold italic a negrita espacio bold italic a bold italic s bold italic í bold italic m bold italic p bold italic t bold italic o bold italic t bold italic a negrita espacio bold italic h bold italic o bold italic r bold italic i bold italic t bold italic z bold italic o bold italic n bold italic t bold italic a bold italic l negrita. espacio


espacio De espacio la espacio mateixa espacio manera espacio cal espacio calcular dos puntos límite cuando espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio normal x flecha derecha más infinito de normal f paréntesis izquierdo normal x paréntesis derecho igual espacio negrita espacio negrita espacio pila l i m espacio espacio espacio espacio espacio con x flecha derecha más infinito debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita más negrita infinito entre denominador negrita menos negrita infinito fin fracción negrita espacio I n d e t e r m i n a c i ó coma espacio q u e espacio s apóstrofo h a espacio d e espacio r e s o l d r e espacio u s a n t espacio l a espacio r e g l a espacio d e l s espacio g r a u s espacio pila l i m espacio espacio espacio espacio espacio con normal x flecha derecha más infinito debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción espacio igual espacio negrita menos negrita infinito negrita espacio bold italic j bold italic a negrita espacio bold italic q bold italic u bold italic e negrita espacio bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic p bold italic o bold italic l bold italic i bold italic n bold italic o bold italic m bold italic i negrita espacio bold italic d bold italic e negrita espacio bold italic m bold italic a bold italic j bold italic o bold italic r negrita espacio bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic d bold italic e bold italic l negrita espacio bold italic n bold italic u bold italic m bold italic e bold italic r bold italic a bold italic d bold italic o bold italic r C o m espacio q u e espacio a q u e s t espacio l í m i t espacio bold italic n bold italic o negrita espacio bold italic e bold italic s negrita espacio bold italic u bold italic n negrita espacio bold italic n bold italic o bold italic m bold italic b bold italic r bold italic e negrita espacio bold italic r bold italic e bold italic a bold italic l espacio bold italic n bold italic o negrita espacio bold italic h bold italic i negrita espacio bold italic h bold italic a negrita espacio bold italic a bold italic s bold italic í bold italic m bold italic p bold italic t bold italic o bold italic t bold italic a negrita espacio bold italic h bold italic o bold italic r bold italic i bold italic t bold italic z bold italic o bold italic n bold italic t bold italic a bold italic l negrita.



---------------------------------------------------------------------

Exercici 1.

b) Asímptota vertical de la funció: f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción



Tal i com s'explica en l'apartat : Asímptotes verticals del recurs : Resum conceptes bàsics del  lliurament 1

Una funció té una asímptota vertical en x = a quan   límite cuando x flecha derecha a de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual infinito

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna   ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  límite cuando x flecha derecha a de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual infinito.


Per tant cal detectar el punts que no són del domini. En primer lloc busquem el domini.  Cal fer :   Denominador = 0

Resolem l'equació :

menos x más 1 espacio igual 0 x igual 1 espacio espacio espacio A r a espacio c a l espacio c a l c u l a r espacio e l s espacio l í m i t s espacio l a t e r a l s espacio e n espacio x igual 1 límite cuando x flecha derecha paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho elevado a más de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho elevado a más debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción igual fracción numerador menos 1 entre denominador 0 elevado a menos fin fracción igual más infinito pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho elevado a menos debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual pila l i m con x flecha derecha paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho elevado a menos debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción igual fracción numerador menos 1 entre denominador 0 elevado a más fin fracción igual menos infinito


Observeu que el  Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda 1 llave derecha i que per tant hem estudiat els límits i hem comprovat que sí hi ha asímptota vertical en x =1


-------------------------------------------------------------


Exercici 1.

c) Asímptota obliqua


Tal i com s'explica en el Resum dels conceptes bàsics del lliurament, cal fer

1.- m igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador x fin fracción

    2.-  b igual espacio pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho menos m x

    3.- Un cop hem trobat m i b l'asímptota obliqua serà la recta que té per equació    envoltorio caja y igual m x más b fin envoltorio


                        Seguint el procediment explicat, calcularem

    límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador x fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador estilo mostrar fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción fin estilo entre denominador x fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de espacio fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador x paréntesis izquierdo menos x más 1 paréntesis derecho fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de espacio fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x al cuadrado más x fin fracción igual fracción numerador 1 entre denominador menos 1 fin fracción igual menos 1 espacio paréntesis izquierdo e l s espacio g r a u s espacio d e l s espacio p o l i n o m i s espacio c o i n c i d e i x e n espacio i espacio h e m espacio d i v i d i t espacio e l s espacio c o e f i c i e n t s espacio d e l s espacio t e r m e s espacio d e espacio m a j o r espacio g r a u paréntesis derecho


    pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho menos m x espacio igual pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho x igual pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción más 1 x igual pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo fracción numerador x al cuadrado menos 2 entre denominador menos x más 1 fin fracción más fracción numerador x paréntesis izquierdo menos x más 1 paréntesis derecho entre denominador menos x más 1 fin fracción igual pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo fracción numerador x ² menos 2 menos x ² más x entre denominador menos x más 1 fin fracción igual pila lim espacio espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo fracción numerador menos 2 más x entre denominador menos x más 1 fin fracción igual menos 1

                          Per tant l'asímptota obliqua és envoltorio caja y igual m x más b fin envoltorio---->  envoltorio caja y igual menos x menos 1 fin envoltorio

    ----------------------------------------------------


    Exercici 2. Calcula aquest límit, tot comprovant que és una indeterminació del tipus 1∞

    pila l i m con x flecha derecha infinito debajo abrir paréntesis fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción cerrar paréntesis elevado a menos x al cuadrado fin elevado


    Resolució :

    Tal i com s'explica en l'apartat : anomenat "Resum conceptes bàsics del lliurament 1, apartat indeterminació del tipus 1∞

    Es pot resoldre seguint un procediment matemàtic o recordant la fórmula.

    Aquí ho farem usant la fórmula. 

    Primer comprovem que efectivament el límit proposat és del tipus 1∞

    pila l i m con x flecha derecha infinito debajo abrir paréntesis fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción cerrar paréntesis elevado a menos x al cuadrado fin elevado igual abrir paréntesis fracción infinito entre infinito cerrar paréntesis elevado a infinito L a espacio i n d e t e r m i n a c i ó espacio fracción infinito entre infinito espacio e s espacio p o t espacio r e s o l d r e espacio u s a n t espacio l a espacio r e g l a espacio d e l s espacio g r a u s espacio d e l espacio p o l i n o m i s

    pila lim espacio con x flecha derecha infinito debajo espacio abrir paréntesis fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción cerrar paréntesis igual límite cuando x flecha derecha infinito de espacio abrir paréntesis fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción cerrar paréntesis igual fracción 1 entre 1 igual 1  ja que els polinomis tenen el mateix grau.


    Per tant:


    pila l i m con x flecha derecha infinito debajo abrir paréntesis fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción cerrar paréntesis elevado a menos x al cuadrado fin elevado igual abrir paréntesis fracción infinito entre infinito cerrar paréntesis elevado a infinito igual 1 elevado a infinito



    Com el límit que ens proposen, una vegada substituït x per "infinit" obtenim la indeterminació negrita 1 elevado a negrita infinito  podem usar aquesta fórmula :

     envoltorio caja pila l i m con x flecha derecha infinito debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho elevado a g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin elevado espacio espacio espacio igual espacio e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho menos 1 paréntesis derecho espacio por g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin elevado espacio fin envoltorio


    envoltorio caja pila l i m con x flecha derecha infinito debajo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho elevado a g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin elevado espacio espacio espacio igual espacio e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho menos 1 paréntesis derecho espacio por g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin elevado espacio igual espacio e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción menos 1 paréntesis derecho espacio por paréntesis izquierdo menos x al cuadrado paréntesis derecho fin elevado fin envoltorio o n espacio f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción espacio espacio i espacio g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual menos x al cuadrado e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción menos 1 paréntesis derecho espacio por paréntesis izquierdo menos x al cuadrado paréntesis derecho fin elevado igual e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo fracción numerador 3 x al cuadrado menos 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción menos fracción numerador 3 x al cuadrado más 1 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción paréntesis derecho espacio por paréntesis izquierdo menos x al cuadrado paréntesis derecho fin elevado igual e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo fracción numerador menos 2 entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción paréntesis derecho espacio por paréntesis izquierdo menos x al cuadrado paréntesis derecho fin elevado igual igual e elevado a pila l i m espacio espacio con x flecha derecha infinito debajo paréntesis izquierdo fracción numerador 2 x al cuadrado entre denominador 3 x al cuadrado más 1 fin fracción paréntesis derecho espacio fin elevado paréntesis izquierdo m i r a n t espacio g r a u s paréntesis derecho igual envoltorio caja negrita e elevado a fracción negrita 2 entre negrita 3 fin elevado fin envoltorio


    Exercici 3


    a) Cal calcular P(0) o sigui substituir t =0 en l'expressió algebraica de la funció.

    P paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual fracción numerador 0 al cuadrado más 28 entre denominador paréntesis izquierdo 0 más 2 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción igual fracción 28 entre 4 igual 7 espacio m i l i o n s espacio d apóstrofo h a b i tan t s


    b) A llarg termini:


    E s espacio d e m a n a espacio c a l c u l a r espacio a q u e s t espacio l í m i t dos puntos límite cuando t flecha derecha más infinito de P paréntesis izquierdo t paréntesis derecho igual límite cuando t flecha derecha más infinito de fracción numerador t al cuadrado más 28 entre denominador paréntesis izquierdo t más 2 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción igual límite cuando t flecha derecha más infinito de fracción numerador t al cuadrado más 28 entre denominador paréntesis izquierdo t al cuadrado más 2 t más 4 paréntesis derecho fin fracción igual 1 espacio m i l i ó espacio d apóstrofo h a b i tan t s P e r espacio c a l c u l a r espacio a q u e s t espacio l í m i t espacio h e m espacio m i r a t espacio e l s espacio g r a u s espacio d e l s espacio p o l i n o m i s.


    c) Per donar resposta a aquest apartat s'ha de calcular:



    E s espacio d e m a n a espacio c a l c u l a r espacio a q u e s t espacio l í m i t dos puntos límite cuando t flecha derecha menos 2 de P paréntesis izquierdo t paréntesis derecho igual límite cuando t flecha derecha menos 2 de espacio fracción numerador t al cuadrado más 28 entre denominador paréntesis izquierdo t más 2 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción igual límite cuando t flecha derecha más infinito de fracción numerador 4 más 28 entre denominador paréntesis izquierdo menos 2 más 2 paréntesis derecho fin fracción igual fracción 32 entre 0 igual infinito espacio m i l i o n s espacio d apóstrofo h a b i tan t s
    Vol dir que 2 anys abans del moment actual la població era d'infinits habitants.
    Com això no té sentit, cal pensar que la fórmula que calcula la població no era aplicable en moments
    anteriors a t=0.
    He donat per bona qualsevol interpretació que tingui sentit







    Última modificación: martes, 15 de octubre de 2019, 09:50