Exercici 1. 

a) Asímptota horitzontal de la funció: f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció


Tal i com s'explica en l'apartat : Asímptotes horitzontals del recurs : Resum conceptes bàsics del  lliurament 1

              Cal estudiar aquests límits en l'infinit de la funció proposada:

espai espai pila lim espai espai espai espai espai amb x fletxa dreta menys infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual espai espai negreta espai negreta espai pila l i m espai espai espai espai espai espai amb x fletxa dreta menys infinit a sota negreta espai fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta més negreta infinit entre denominador negreta menys negreta infinit fi fracció negreta espai I n d e t e r m i n a c i ó coma espai q u e espai s apòstrof h a espai d e espai r e s o l d r e espai u s a n t espai l a espai r e g l a espai d e l s espai g r a u s espai pila lim espai espai espai espai espai amb normal x fletxa dreta menys infinit a sota espai fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció espai igual més negreta infinit negreta espai negreta espai bold italic p bold italic e bold italic r negreta espai bold italic q bold italic u bold italic è negreta espai bold italic e bold italic l negreta espai bold italic p bold italic o bold italic l bold italic i bold italic n bold italic o bold italic m bold italic i negreta espai bold italic d bold italic e negreta espai bold italic m bold italic a bold italic j bold italic o bold italic r negreta espai bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic e bold italic l negreta espai bold italic d bold italic e bold italic l negreta espai bold italic n bold italic u bold italic m bold italic e bold italic r bold italic a bold italic d bold italic o bold italic r C o m espai q u e espai a q u e s t espai l í m i t espai bold italic n bold italic o negreta espai bold italic e bold italic s negreta espai bold italic u bold italic n negreta espai bold italic n bold italic o bold italic m bold italic b bold italic r bold italic e negreta espai bold italic r bold italic e bold italic a bold italic l espai bold italic n bold italic o negreta espai bold italic h bold italic i negreta espai bold italic h bold italic a negreta espai bold italic a bold italic s bold italic í bold italic m bold italic p bold italic t bold italic o bold italic t bold italic a negreta espai bold italic h bold italic o bold italic r bold italic i bold italic t bold italic z bold italic o bold italic n bold italic t bold italic a bold italic l negreta. espai


espai De espai la espai mateixa espai manera espai cal espai calcular dos punts límit quan espai espai espai espai espai espai espai espai normal x fletxa dreta més infinit de normal f parèntesi esquerre normal x parèntesi dret igual espai negreta espai negreta espai pila l i m espai espai espai espai espai amb x fletxa dreta més infinit a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta més negreta infinit entre denominador negreta menys negreta infinit fi fracció negreta espai I n d e t e r m i n a c i ó coma espai q u e espai s apòstrof h a espai d e espai r e s o l d r e espai u s a n t espai l a espai r e g l a espai d e l s espai g r a u s espai pila l i m espai espai espai espai espai amb normal x fletxa dreta més infinit a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció espai igual espai negreta menys negreta infinit negreta espai bold italic j bold italic a negreta espai bold italic q bold italic u bold italic e negreta espai bold italic e bold italic l negreta espai bold italic p bold italic o bold italic l bold italic i bold italic n bold italic o bold italic m bold italic i negreta espai bold italic d bold italic e negreta espai bold italic m bold italic a bold italic j bold italic o bold italic r negreta espai bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic e bold italic l negreta espai bold italic d bold italic e bold italic l negreta espai bold italic n bold italic u bold italic m bold italic e bold italic r bold italic a bold italic d bold italic o bold italic r C o m espai q u e espai a q u e s t espai l í m i t espai bold italic n bold italic o negreta espai bold italic e bold italic s negreta espai bold italic u bold italic n negreta espai bold italic n bold italic o bold italic m bold italic b bold italic r bold italic e negreta espai bold italic r bold italic e bold italic a bold italic l espai bold italic n bold italic o negreta espai bold italic h bold italic i negreta espai bold italic h bold italic a negreta espai bold italic a bold italic s bold italic í bold italic m bold italic p bold italic t bold italic o bold italic t bold italic a negreta espai bold italic h bold italic o bold italic r bold italic i bold italic t bold italic z bold italic o bold italic n bold italic t bold italic a bold italic l negreta.



---------------------------------------------------------------------

Exercici 1.

b) Asímptota vertical de la funció: f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció



Tal i com s'explica en l'apartat : Asímptotes verticals del recurs : Resum conceptes bàsics del  lliurament 1

Una funció té una asímptota vertical en x = a quan   límit quan x fletxa dreta a de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual infinit

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna   ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  límit quan x fletxa dreta a de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual infinit.


Per tant cal detectar el punts que no són del domini. En primer lloc busquem el domini.  Cal fer :   Denominador = 0

Resolem l'equació :

menys x més 1 espai igual 0 x igual 1 espai espai espai A r a espai c a l espai c a l c u l a r espai e l s espai l í m i t s espai l a t e r a l s espai e n espai x igual 1 límit quan x fletxa dreta parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a més de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a més a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció igual fracció numerador menys 1 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit pila l i m amb x fletxa dreta parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta parèntesi esquerre 1 parèntesi dret elevat a menys a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció igual fracció numerador menys 1 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit


Observeu que el  Dom(f(x))= normal nombres reals menys clau esquerra 1 clau dreta i que per tant hem estudiat els límits i hem comprovat que sí hi ha asímptota vertical en x =1


-------------------------------------------------------------


Exercici 1.

c) Asímptota obliqua


Tal i com s'explica en el Resum dels conceptes bàsics del lliurament, cal fer

1.- m igual límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador x fi fracció

    2.-  b igual espai pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys m x

    3.- Un cop hem trobat m i b l'asímptota obliqua serà la recta que té per equació    envoltori caixa y igual m x més b fi envoltori


                        Seguint el procediment explicat, calcularem

    límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador x fi fracció igual límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador estil mostrar fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció fi estil entre denominador x fi fracció igual límit quan x fletxa dreta infinit de espai fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador x parèntesi esquerre menys x més 1 parèntesi dret fi fracció igual límit quan x fletxa dreta infinit de espai fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x al quadrat més x fi fracció igual fracció numerador 1 entre denominador menys 1 fi fracció igual menys 1 espai parèntesi esquerre e l s espai g r a u s espai d e l s espai p o l i n o m i s espai c o i n c i d e i x e n espai i espai h e m espai d i v i d i t espai e l s espai c o e f i c i e n t s espai d e l s espai t e r m e s espai d e espai m a j o r espai g r a u parèntesi dret


    pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys m x espai igual pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret x igual pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció més 1 x igual pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador x al quadrat menys 2 entre denominador menys x més 1 fi fracció més fracció numerador x parèntesi esquerre menys x més 1 parèntesi dret entre denominador menys x més 1 fi fracció igual pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador x ² menys 2 menys x ² més x entre denominador menys x més 1 fi fracció igual pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador menys 2 més x entre denominador menys x més 1 fi fracció igual menys 1

                          Per tant l'asímptota obliqua és envoltori caixa y igual m x més b fi envoltori---->  envoltori caixa y igual menys x menys 1 fi envoltori

    ----------------------------------------------------


    Exercici 2. Calcula aquest límit, tot comprovant que és una indeterminació del tipus 1∞

    pila l i m amb x fletxa dreta infinit a sota obre parèntesis fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció tanca parèntesis elevat a menys x al quadrat fi elevat


    Resolució :

    Tal i com s'explica en l'apartat : anomenat "Resum conceptes bàsics del lliurament 1, apartat indeterminació del tipus 1∞

    Es pot resoldre seguint un procediment matemàtic o recordant la fórmula.

    Aquí ho farem usant la fórmula. 

    Primer comprovem que efectivament el límit proposat és del tipus 1∞

    pila l i m amb x fletxa dreta infinit a sota obre parèntesis fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció tanca parèntesis elevat a menys x al quadrat fi elevat igual obre parèntesis fracció infinit entre infinit tanca parèntesis elevat a infinit L a espai i n d e t e r m i n a c i ó espai fracció infinit entre infinit espai e s espai p o t espai r e s o l d r e espai u s a n t espai l a espai r e g l a espai d e l s espai g r a u s espai d e l espai p o l i n o m i s

    pila lim espai amb x fletxa dreta infinit a sota espai obre parèntesis fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció tanca parèntesis igual límit quan x fletxa dreta infinit de espai obre parèntesis fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció tanca parèntesis igual fracció 1 entre 1 igual 1  ja que els polinomis tenen el mateix grau.


    Per tant:


    pila l i m amb x fletxa dreta infinit a sota obre parèntesis fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció tanca parèntesis elevat a menys x al quadrat fi elevat igual obre parèntesis fracció infinit entre infinit tanca parèntesis elevat a infinit igual 1 elevat a infinit



    Com el límit que ens proposen, una vegada substituït x per "infinit" obtenim la indeterminació negreta 1 elevat a negreta infinit  podem usar aquesta fórmula :

     envoltori caixa pila l i m amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret elevat a g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi elevat espai espai espai igual espai e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys 1 parèntesi dret espai per g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi elevat espai fi envoltori


    envoltori caixa pila l i m amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret elevat a g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi elevat espai espai espai igual espai e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys 1 parèntesi dret espai per g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi elevat espai igual espai e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció menys 1 parèntesi dret espai per parèntesi esquerre menys x al quadrat parèntesi dret fi elevat fi envoltori o n espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció espai espai i espai g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual menys x al quadrat e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció menys 1 parèntesi dret espai per parèntesi esquerre menys x al quadrat parèntesi dret fi elevat igual e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre fracció numerador 3 x al quadrat menys 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció menys fracció numerador 3 x al quadrat més 1 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció parèntesi dret espai per parèntesi esquerre menys x al quadrat parèntesi dret fi elevat igual e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre fracció numerador menys 2 entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció parèntesi dret espai per parèntesi esquerre menys x al quadrat parèntesi dret fi elevat igual igual e elevat a pila l i m espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota parèntesi esquerre fracció numerador 2 x al quadrat entre denominador 3 x al quadrat més 1 fi fracció parèntesi dret espai fi elevat parèntesi esquerre m i r a n t espai g r a u s parèntesi dret igual envoltori caixa negreta e elevat a fracció negreta 2 entre negreta 3 fi elevat fi envoltori


    Exercici 3


    a) Cal calcular P(0) o sigui substituir t =0 en l'expressió algebraica de la funció.

    P parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual fracció numerador 0 al quadrat més 28 entre denominador parèntesi esquerre 0 més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció 28 entre 4 igual 7 espai m i l i o n s espai d apòstrof h a b i tan t s


    b) A llarg termini:


    E s espai d e m a n a espai c a l c u l a r espai a q u e s t espai l í m i t dos punts límit quan t fletxa dreta més infinit de P parèntesi esquerre t parèntesi dret igual límit quan t fletxa dreta més infinit de fracció numerador t al quadrat més 28 entre denominador parèntesi esquerre t més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual límit quan t fletxa dreta més infinit de fracció numerador t al quadrat més 28 entre denominador parèntesi esquerre t al quadrat més 2 t més 4 parèntesi dret fi fracció igual 1 espai m i l i ó espai d apòstrof h a b i tan t s P e r espai c a l c u l a r espai a q u e s t espai l í m i t espai h e m espai m i r a t espai e l s espai g r a u s espai d e l s espai p o l i n o m i s.


    c) Per donar resposta a aquest apartat s'ha de calcular:



    E s espai d e m a n a espai c a l c u l a r espai a q u e s t espai l í m i t dos punts límit quan t fletxa dreta menys 2 de P parèntesi esquerre t parèntesi dret igual límit quan t fletxa dreta menys 2 de espai fracció numerador t al quadrat més 28 entre denominador parèntesi esquerre t més 2 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual límit quan t fletxa dreta més infinit de fracció numerador 4 més 28 entre denominador parèntesi esquerre menys 2 més 2 parèntesi dret fi fracció igual fracció 32 entre 0 igual infinit espai m i l i o n s espai d apòstrof h a b i tan t s
    Vol dir que 2 anys abans del moment actual la població era d'infinits habitants.
    Com això no té sentit, cal pensar que la fórmula que calcula la població no era aplicable en moments
    anteriors a t=0.
    He donat per bona qualsevol interpretació que tingui sentit







    Darrera modificació: dimarts, 15 d’octubre 2019, 09:50