LL5_Programació lineal: Inequacions lineals amb una incògnita

2. Inequacions lineals amb una incògnita

Definició.

Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algebraiques, anomenades membre de la inequació.

Els valors de les incògnites que fan que sigui certa la desigualtat són les solucions de la inequació.

Diem que dues inequacions són equivalents si tenen el mateix conjunt solució.

Una inequació lineal amb una incògnita és una equació equivalent a

$bold italic a bold italic x negreta menor que bold italic b negreta espai negreta espai negreta espai bold italic o negreta espai negreta espai negreta espai bold italic a bold italic x negreta menor o igual que bold italic b negreta espai negreta espai bold italic o negreta espai negreta espai negreta espai bold italic a bold italic x negreta major que bold italic b negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai bold italic o negreta espai negreta espai negreta espai bold italic a bold italic x negreta major o igual que bold italic b espai espai$

Propietats.

1. Si sumem o restem una mateixa expressió polinòmica al dos membre de la inequació, obtenim una inequació equivalent.

$bold italic a negreta menor que bold italic b negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta negreta espai negreta espai bold italic a negreta més bold italic c negreta menor que bold italic b negreta més bold italic c$

2. Si multipliquem o dividim per un nombre positiu els dos membres d'una inequació, obtenim una inequació equivalent.

$bold italic a negreta menor que bold italic b negreta espai negreta espai negreta espai bold italic i negreta espai negreta espai bold italic c negreta major que negreta 0 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta negreta espai negreta espai bold italic a bold italic c negreta menor que bold italic b bold italic c$

Exemple:

$espai espai espai espai espai espai espai 5 x espai menor que espai 3 espai espai espai espai 1 cinquè per 5 x espai menor que espai 1 cinquè per 3 espai espai espai fletxa dreta espai espai x menor que fracció 3 entre 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

3. Si multipliquem o dividim per un nombre negatiu els dos membres d'una inequació, per obtenir una inequació equivalent hem d'invertit el sentit de la desigualtat.

$bold italic a negreta menor que bold italic b negreta espai negreta espai negreta espai bold italic i negreta espai negreta espai bold italic c negreta menor que negreta 0 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta negreta espai negreta espai bold italic a bold italic c negreta major que bold italic b bold italic c$

Exemple:

$espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 5 x espai menor que espai 3 espai espai espai espai espai espai espai fracció numerador 1 entre denominador menys 5 fi fracció per 5 x espai negreta major que espai fracció numerador 1 entre denominador menys 5 fi fracció per 3 espai espai espai fletxa dreta espai espai x negreta major que menys fracció 3 entre 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Solucions.

El conjunt de solucions el podem expressar en forma d'interval o fent la representació gràfica.

Exemple:

$x major que a$

$parèntesi esquerre a coma més infinit parèntesi dret$

Exemples d'inequacions lineals amb una incògnita.

Exemple 1

$5 parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret més 2 espai menor que espai 2 x menys 3 espai espai espai 5 x menys 5 més 2 menor que 2 x menys 3 espai espai espai espai 5 x menys 2 x menor que menys 3 menys 2 més 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 x menor que 0 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai x menor que fracció 0 entre 3 espai espai espai espai espai fletxa dreta espai x menor que 0 espai$

expressat en forma d'interval: $obre parèntesis menys infinit coma 0 tanca parèntesis$

Exemple 2

$espai 3 menys fracció numerador x menys 4 entre denominador 2 fi fracció espai menor que espai 2 x més 5 6 menys parèntesi esquerre x menys 4 parèntesi dret espai menor que espai 4 x més 10 espai espai 6 menys x més 4 espai menor que espai 4 x més 10 espai espai espai menys x menys 4 x espai menor que espai 10 menys 6 menys 4 espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 5 x espai menor que 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 x negreta major que 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x major que 0$

expressat en forma d'interval: $obre parèntesis 0 coma més infinit tanca parèntesis$

Exemple 3

$espai 3 menys fracció numerador x més 1 entre denominador 2 fi fracció espai major o igual que espai 2 x més 5 6 menys parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret espai major que o igual inclinat espai 4 x més 10 espai espai 6 menys x menys 1 espai major que o igual inclinat espai 4 x més 10 espai espai espai menys x menys 4 x espai major que o igual inclinat espai 10 menys 6 més 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 5 x espai major que o igual inclinat 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 x negreta menor que o igual inclinat menys 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x menor que o igual inclinat fracció numerador menys 5 entre denominador 5 fi fracció espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x menor que o igual inclinat menys 1$

expressat en forma d'interval: $parèntesi esquerre menys infinit coma espai menys 1 claudàtor dret$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

2. Inequacions lineals amb una incògnita