Dubtes freqüents d'Anàlisi I
.
CURVATURA D'UNA FUNCIÓ
Estudi complet d'una funció
Exercici:
Trobeu el domini de la funció, els punts de tall amb els eixos, les asímptotes, els extrems relatius i feu una representació gràfica aproximada de la funció:
Resolució:
a) Dom f(x) = Reals-{-1}, ja que és f(x) existeix i es pot calcular pels valors en que x+1≠0.
Estudiem els valors en què la funció no existeix, són els valors que anul·len el denominador: x+1=0--> x=-1. Aquest valor no té imatge, és a dir f(-1) no existeix.
b) Punts de tall amb els eixos:
Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:
Amb l'eix OX. Cal resoldre el sistema:
El punt de tall és únicament : (0,2)
c) Asímptotes
AH.
A.V.
La recta y=-1 és una A.V.
Significa que la funció es comporta com en aquesta imatge:
A.O.
Les asímptotes obliqües tenen aquesta equació: y=mx+n
Per tant l'asímptota obliqua és y=x+1
Significa que la funció es comporta com en aquesta imatge:
d) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació: f '(x) = 0
Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims.
Els punts possibles màxims o mínims són :
Intervals on estudiar el creixement |
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
signe de f ' | f ' (-3) = positiu |
|
f ' (-1) = negatiu | f ' ( 0.5) = negatiu
|
|
f ' (2) =positiu | |
creixement de f | f creix | màxim relatiu | decreix | mínim relatiu
|
f decreix
|
punt fóra del domini | creix |
Amb totes aquestes dades la gràfica ha de ser aquesta: