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CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció

Exercici:

Busqueu els extrems relatius, els punts de tall amb els eixos i feu una representació gràfica aproximada de la funció:  f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x elevado a 4 menos x al cuadrado


Resolució:

a) Dom f(x) = Reals, ja que és una funció polinòmica


b) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació:  f '(x) = 0

f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x elevado a 4 menos x al cuadrado

f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 4 x al cubo menos 2 x igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio espacio espacio 4 x al cubo menos 2 x igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio x paréntesis izquierdo 4 x al cuadrado menos 2 paréntesis derecho igual 0 flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x igual 0 fin celda fila celda 4 x al cuadrado menos 2 igual 0 fin celda fin tabla cerrar flecha doble derecha flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x igual 0 fin celda fila celda x al cuadrado igual 1 medio fin celda fin tabla cerrar flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x igual 0 fin celda fila celda x igual más-menos raíz cuadrada de 1 medio fin raíz igual más-menos fracción numerador 1 entre denominador raíz cuadrada de 2 fin fracción igual más-menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción igual simptótico más-menos 0 coma 7 fin celda fin tabla cerrar

Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims o punts d'inflexió.


f paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual 0 elevado a 4 menos 0 al cuadrado igual 0 f abrir paréntesis fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis igual abrir paréntesis fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis elevado a 4 menos abrir paréntesis fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado igual 1 cuarto menos 1 medio igual menos 1 cuarto f abrir paréntesis menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis igual abrir paréntesis menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis elevado a 4 menos abrir paréntesis menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado igual 1 cuarto menos 1 medio igual menos 1 cuarto

Els tres punts són : 

  

abrir paréntesis 0 coma 0 cerrar paréntesis abrir paréntesis fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción coma menos 1 cuarto cerrar paréntesis abrir paréntesis menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción coma menos 1 cuarto cerrar paréntesis


Intervals on estudiar el creixement paréntesis izquierdo menos infinito coma menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción paréntesis derecho x igual menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción paréntesis izquierdo menos fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción coma espacio 0 paréntesis derecho x igual 0   paréntesis izquierdo 0 coma fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción paréntesis derecho x igual fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción    paréntesis izquierdo fracción numerador raíz cuadrada de 2 entre denominador 2 fin fracción coma infinito paréntesis derecho
signe de f ' f ' (-1) = negatiu
f ' (-0,5) = positiu
  f ' (0,5) =negatiu     f ' (1) =positiu
creixement de f f decreix  mínim relatiu creix   màxim relatiu  decreix    mínim relatiu  creix

c) Punts de tall de la funció amb els eixos:

Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:
abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda y igual x elevado a 4 menos x al cuadrado espacio espacio e q u a c i ó espacio d e espacio l a espacio f u n c i ó fin celda fila celda y igual 0 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio e q u a c i ó espacio d e espacio l apóstrofo e i x espacio O X fin celda fin tabla cerrar espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio x elevado a 4 menos x al cuadrado espacio igual 0 espacio espacio flecha doble derecha espacio x al cuadrado por paréntesis izquierdo x al cuadrado menos 1 paréntesis derecho espacio igual 0 espacio espacio flecha doble derecha x igual espacio 0 espacio espacio espacio espacio espacio espacio i espacio espacio espacio espacio espacio espacio x al cuadrado menos 1 espacio igual 0 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio espacio espacio s o l u c i o n s espacio abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x igual espacio 0 fin celda fila celda x igual más-menos 1 fin celda fin tabla cerrar P e r espacio tan t espacio e l s espacio p u n t s espacio d e espacio t a l l espacio a m b espacio l apóstrofo e i x espacio O X espacio s ó n dos puntos espacio espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 0 negrita coma negrita 0 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita coma negrita 0 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita espacio negrita espacio bold italic i negrita espacio negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 1 negrita coma negrita 0 negrita paréntesis derecho

Podríem repetir el procés amb l'exi OY , però amb l'eix OY, només pot haver com a màxim 1 punt de tall i ja ens ha sortit en la part anterior, que és el punt  (0,0). Per tant no cal fer els punts de tall amb l'eix OY. En tot cas si es fa, sortirà com a únic punt el (0,0)

Amb totes aquestes dades la gràfica ens ha de sortir aquesta:

 

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