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CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció

Exercici:

Busqueu els extrems relatius, els punts de tall amb els eixos i feu una representació gràfica aproximada de la funció:  f linke klammer x rechte klammer gleich x hoch 4 minus x im Quadrat


Resolució:

a) Dom f(x) = Reals, ja que és una funció polinòmica


b) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació:  f '(x) = 0

f linke klammer x rechte klammer gleich x hoch 4 minus x im Quadrat

f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich 4 x hoch drei minus 2 x gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 4 x hoch drei minus 2 x gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x linke klammer 4 x im Quadrat minus 2 rechte klammer gleich 0 dicker rechtspfeil geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x gleich 0 Ende Zelle Zeile Zelle 4 x im Quadrat minus 2 gleich 0 Ende Zelle Ende Tabelle schließen dicker rechtspfeil dicker rechtspfeil geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x gleich 0 Ende Zelle Zeile Zelle x im Quadrat gleich 1 halber Bruch Ende Zelle Ende Tabelle schließen dicker rechtspfeil geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x gleich 0 Ende Zelle Zeile Zelle x gleich plusminus Quadratwurzel aus 1 halber Bruch Wurzelende gleich plusminus Zähler 1 geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus 2 Bruchergebnis gleich plusminus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis asymptotisch gleich plusminus 0 Komma 7 Ende Zelle Ende Tabelle schließen

Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims o punts d'inflexió.


f linke klammer 0 rechte klammer gleich 0 hoch 4 minus 0 im Quadrat gleich 0 f Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen gleich Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen hoch 4 minus Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen im Quadrat gleich 1 Viertel minus 1 halber Bruch gleich minus 1 Viertel f Klammer öffnen minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen gleich Klammer öffnen minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen hoch 4 minus Klammer öffnen minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Klammer schließen im Quadrat gleich 1 Viertel minus 1 halber Bruch gleich minus 1 Viertel

Els tres punts són : 

  

Klammer öffnen 0 Komma 0 Klammer schließen Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Komma minus 1 Viertel Klammer schließen Klammer öffnen minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Komma minus 1 Viertel Klammer schließen


Intervals on estudiar el creixement linke klammer minus unendlichkeitszeichen Komma minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis rechte klammer x gleich minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis linke klammer minus Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Komma Leerzeichen 0 rechte klammer x gleich 0   linke klammer 0 Komma Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis rechte klammer x gleich Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis    linke klammer Zähler Quadratwurzel aus 2 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Komma unendlichkeitszeichen rechte klammer
signe de f ' f ' (-1) = negatiu
f ' (-0,5) = positiu
  f ' (0,5) =negatiu     f ' (1) =positiu
creixement de f f decreix  mínim relatiu creix   màxim relatiu  decreix    mínim relatiu  creix

c) Punts de tall de la funció amb els eixos:

Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:
geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle y gleich x hoch 4 minus x im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen e q u a c i ó Leerzeichen d e Leerzeichen l a Leerzeichen f u n c i ó Ende Zelle Zeile Zelle y gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen e q u a c i ó Leerzeichen d e Leerzeichen l apostroph e i x Leerzeichen O X Ende Zelle Ende Tabelle schließen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen x hoch 4 minus x im Quadrat Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen x im Quadrat mal linke klammer x im Quadrat minus 1 rechte klammer Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil x gleich Leerzeichen 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat minus 1 Leerzeichen gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s o l u c i o n s Leerzeichen geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x gleich Leerzeichen 0 Ende Zelle Zeile Zelle x gleich plusminus 1 Ende Zelle Ende Tabelle schließen P e r Leerzeichen tan t Leerzeichen e l s Leerzeichen p u n t s Leerzeichen d e Leerzeichen t a l l Leerzeichen a m b Leerzeichen l apostroph e i x Leerzeichen O X Leerzeichen s ó n Doppelpunkt Leerzeichen Leerzeichen fett linke klammer fett 0 fett Komma fett 0 fett rechte klammer fett Leerzeichen fett Leerzeichen fett linke klammer fett minus fett 1 fett Komma fett 0 fett rechte klammer fett Leerzeichen fett Leerzeichen fett Leerzeichen bold italic i fett Leerzeichen fett Leerzeichen fett linke klammer fett 1 fett Komma fett 0 fett rechte klammer

Podríem repetir el procés amb l'exi OY , però amb l'eix OY, només pot haver com a màxim 1 punt de tall i ja ens ha sortit en la part anterior, que és el punt  (0,0). Per tant no cal fer els punts de tall amb l'eix OY. En tot cas si es fa, sortirà com a únic punt el (0,0)

Amb totes aquestes dades la gràfica ens ha de sortir aquesta:

 

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