Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Estudi complet d'una funció

CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció

Exercici:

Busqueu els extrems relatius, els punts de tall amb els eixos i feu una representació gràfica aproximada de la funció: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$

Resolució:

a) Dom f(x) = Reals, ja que és una funció polinòmica

b) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació: f '(x) = 0

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a 4 menys x al quadrat$

$f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 x al cub menys 2 x igual 0 espai espai espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai 4 x al cub menys 2 x igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x parèntesi esquerre 4 x al quadrat menys 2 parèntesi dret igual 0 fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x igual 0 fi cel·la fila cel·la 4 x al quadrat menys 2 igual 0 fi cel·la fi taula tanca fletxa doble dreta fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x igual 0 fi cel·la fila cel·la x al quadrat igual 1 mig fi cel·la fi taula tanca fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x igual 0 fi cel·la fila cel·la x igual més-menys arrel quadrada de 1 mig fi arrel igual més-menys fracció numerador 1 entre denominador arrel quadrada de 2 fi fracció igual més-menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció igual asimptòtic més-menys 0 coma 7 fi cel·la fi taula tanca$

Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims o punts d'inflexió.

$f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual 0 elevat a 4 menys 0 al quadrat igual 0 f obre parèntesis fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis igual obre parèntesis fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis elevat a 4 menys obre parèntesis fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis al quadrat igual 1 quart menys 1 mig igual menys 1 quart f obre parèntesis menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis igual obre parèntesis menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis elevat a 4 menys obre parèntesis menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis al quadrat igual 1 quart menys 1 mig igual menys 1 quart$

Els tres punts són :

$obre parèntesis 0 coma 0 tanca parèntesis obre parèntesis fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció coma menys 1 quart tanca parèntesis obre parèntesis menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció coma menys 1 quart tanca parèntesis$


Intervals on estudiar el creixement	$parèntesi esquerre menys infinit coma menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció parèntesi dret$	$x igual menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció$	$parèntesi esquerre menys fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció coma espai 0 parèntesi dret$	$x igual 0$	$parèntesi esquerre 0 coma fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció parèntesi dret$	$x igual fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció$	$parèntesi esquerre fracció numerador arrel quadrada de 2 entre denominador 2 fi fracció coma infinit parèntesi dret$
signe de f '	f ' (-1) = negatiu		f ' (-0,5) = positiu		f ' (0,5) =negatiu		f ' (1) =positiu
creixement de f	f decreix	mínim relatiu	creix	màxim relatiu	decreix	mínim relatiu	creix

c) Punts de tall de la funció amb els eixos:

Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:

obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la y igual x elevat a 4 menys x al quadrat espai espai e q u a c i ó espai d e espai l a espai f u n c i ó fi cel·la fila cel·la y igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai e q u a c i ó espai d e espai l apòstrof e i x espai O X fi cel·la fi taula tanca espai espai fletxa doble dreta espai espai x elevat a 4 menys x al quadrat espai igual 0 espai espai fletxa doble dreta espai x al quadrat per parèntesi esquerre x al quadrat menys 1 parèntesi dret espai igual 0 espai espai fletxa doble dreta x igual espai 0 espai espai espai espai espai espai i espai espai espai espai espai espai x al quadrat menys 1 espai igual 0 espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai espai espai s o l u c i o n s espai obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x igual espai 0 fi cel·la fila cel·la x igual més-menys 1 fi cel·la fi taula tanca P e r espai tan t espai e l s espai p u n t s espai d e espai t a l l espai a m b espai l apòstrof e i x espai O X espai s ó n dos punts espai espai negreta parèntesi esquerre negreta 0 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai bold italic i negreta espai negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 1 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret

Podríem repetir el procés amb l'exi OY , però amb l'eix OY, només pot haver com a màxim 1 punt de tall i ja ens ha sortit en la part anterior, que és el punt (0,0). Per tant no cal fer els punts de tall amb l'eix OY. En tot cas si es fa, sortirà com a únic punt el (0,0)

Amb totes aquestes dades la gràfica ens ha de sortir aquesta:

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció