Dubtes freqüents d'Anàlisi I

Com trobar els intervals de curvatura d'una funció?

Per trobar els intervals de concavitat i convexitat d'una funció i els seus punts d'inflexió cal seguir els següents passos:

1. Trobar el domini de la funció f(x). Els punts que no siguin del domini després els haurem de tenir en compte en el pas 4

2. Trobar la funció segona derivada f ''(x)

3. Igualar la segona derivada a zero i resoldre aquesta equació. Amb aquest pas trobarem el valors de la x dels possibles punts d'inflexió

4. Col·loquem damunt la recta real els valors trobats en les passes 1 i 3 (valors de la x que no són del domini i possibles punts d'inflexió) de manera que la recta ens queda dividida en intervals.

5. Per a cada interval trobat cal comprovar si la funció és còncava o convexa. Per això sols cal agafar un valor de x = x_o que estigui dins l'interval i substituir en la funció f ''(x):

• • Si f ''(x_o) >0 → la funció és còncava en l'interval que conté x_o (U)
    
  • Si f ''(x_o) <0 → la funció és convexa en l'interval que conté x_o (∩)
    

6. En funció del pas anterior decidir si els punts trobats en el pas 3 són punts d'inflexió o no.

7. Els punts que no són del domini mai poden ser punts d'inflexió. Són punts de discontinuïtat

Exemple 1 :

Anem a trobar els intervals de creixement, decreixement i els extrems relatius de la funció

1.

2. Trobem la segona derivada

3.

4. Col·loquem damunt la recta real els valors

Obtenim doncs els intervals:

5. Per a cada interval trobat agafem un valor de x = x_o que estigui dins l'interval i substituïm en la funció f ''(x):

6. Els extrems relatius són:

7. En x=-1 hi ha una discontinuïtat

Comprovem el resultat amb la gràfica de la funció: