Dubtes freqüents d'Anàlisi I
.
MONOTONIA D'UNA FUNCIÓ
Com trobar els intervals de monotonia d'una funció?
Com trobar els intervals de monotonia d'una funció?
Per trobar els intervals de creixement i decreixement d'una funció i els seus extrems relatius cal seguir els següents passos:
1. Trobar el domini de la funció f(x). Els punts que no siguin del domini després els haurem de tenir en compte en el pas 4
2. Trobar la funció derivada f '(x)
3. Igualar la derivada a zero i resoldre aquesta equació. Amb aquest pas trobarem el valors de la x dels possibles extrems relatius
4. Col·loquem damunt la recta real els valors trobats en les passes 1 i 3 (valors de la x que no són del domini i possibles extrems relatius) de manera que la recta ens queda dividida en intervals.
5. Per a cada interval trobat cal comprovar se la funció és creixent o decreixent. Per això sols cal agafar un valor de x = xo que estigui dins l'interval i substituir en la funció f '(x):
-
- Si f '(xo) >0 → la funció és creixent en l'interval
- Si f '(xo) <0 → la funció és creixent en l'interval
6. En funció del pas anterior decidir si els punts trobats en el pas 3 són màxim relatiu, mínim relatiu o cap de les dues coses.
7. Els punts que no són del domini mai poden ser ni màxim relatiu ni mínim relatiu. Són punts de discontinuïtat
Exemple 1 :
Anem a trobar els intervals de creixement, decreixement i els extrems relatius de la funció
1.
2.
3.
4. Col·loquem damunt la recta real els valors
Obtenim doncs els intervals:
5. Per a cada interval trobat agafem un valor de x = xo que estigui dins l'interval i substituïm en la funció f '(x):
6. Els extrems relatius són:
7. En x=-1 i en x=1 hi ha discontinuïtats
Comprovem el resultat amb la gràfica de la funció: