Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Sempre hi ha un extrem relatiu si s'anul·la la primera derivada?

MONOTONIA D'UNA FUNCIÓ

Sempre hi ha un extrem relatiu si s'anul·la la primera derivada?

Sempre hi ha un extrem relatiu si s'anul·la la primera derivada?

Això no és sempre cert. Mireu aquest exemple

j(x) és estrictament creixent en el punt

E ( en x = 2) i $j espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 0$

El que si que és cert és que si en un punt hi ha un extrem relatiu i la funció és derivable llavors la derivada en aquest punt dóna 0

$abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio t é espacio u n espacio e x t r e m espacio r e l a t i u espacio paréntesis izquierdo m à x i m espacio o espacio m í n i m paréntesis derecho espacio e n espacio x igual a fin celda fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio d e r i v a b l e espacio e n espacio x igual a fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual 0$

Exemple 1:

Sigui la funció $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 1 medio x al cuadrado menos 2 x menos 1$ .

f(x) és derivable i té un mínim relatiu en x=2 $f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x menos 2 flecha derecha f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 0$

Fixa-t'hi que en x=2 la recta tangent és horitzontal (pendent=0)

Exemple 2:

Sigui la funció $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 1 tercio x al cubo menos 4 x$ .

f(x) és derivable i té un màxim relatiu en x = -2 $f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cuadrado menos 4 espacio flecha derecha f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho igual 0$

f(x) és derivable i té un mínim relatiu en x = 2

$f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cuadrado menos 4 espacio flecha derecha f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 0$

Fixa-t'hi que en x= -2 i en x = 2 la recta tangent és horitzontal (pendent=0)

Exemple 3:

Aquí podeu trobar un cas on hi ha un extrem relatiu però que no existeix la derivada

Sigui la funció $f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x más 1 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor o igual que 1 fin celda fila celda x al cuadrado menos 4 x más 5 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar$

f(x) NO és derivable ex x = 1 però SÍ té un màxim relatiu en x =1

$f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 1 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor que 1 fin celda fila celda 2 x menos 4 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar espacio espacio flecha derecha f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho espacio igual no existe$

Fixa-t'hi que en x= 1 la recta tangent no és única (les derivades laterals són diferents)

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Sempre hi ha un extrem relatiu si s'anul·la la primera derivada?