Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Relació 1a derivada amb creixement i decreixement

Què té a veure la derivada d'una funció en un punt amb que la funció creixi o decreixi en aquest punt?

Doncs hi ha una relació total.

Mireu les següents gràfiques de funcions i observeu el pendent de la recta tangent en el punt dibuixat.

f(x) és estrictament creixent en el punt

A ( en x = 1) i $f espace apostrophe parenthèse gauche 1 parenthèse droite égal à 2 supérieur à 0$

g(x) és estrictament decreixent en el punt

B ( en x = 2) i $f espace apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à moins 4 inférieur à 0$

h(x) és estrictament decreixent en el

punt C ( en x = -1.5) i $h espace apostrophe parenthèse gauche moins 1.5 parenthèse droite égal à moins 2.38 inférieur à 0$

h(x) és estrictament creixent en el

punt D ( en x = 0.5) i $h espace apostrophe parenthèse gauche 0.5 parenthèse droite égal à 0.65 supérieur à 0$

La relació que es compleix entre derivada i creixement és la següent :

$S i espace f apostrophe parenthèse gauche a parenthèse droite supérieur à 0 espace flèche vers la droite f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace e s t r i c t a m e n t espace c r e i x e n t espace e n espace x égal à a$
$S i espace f apostrophe parenthèse gauche a parenthèse droite inférieur à 0 espace flèche vers la droite f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace e s t r i c t a m e n t espace d e c r e i x e n t espace e n espace x égal à a$

Al contrari no té perquè ser cert. En el següent exemple veureu que si una funció és estrictament creixent en un punt x=a no implica que f '(a) >0

j(x) és estrictament creixent en el punt

E ( en x = 2) i $f espace apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à 0$