Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Relació 1a derivada amb creixement i decreixement

Què té a veure la derivada d'una funció en un punt amb que la funció creixi o decreixi en aquest punt?

Doncs hi ha una relació total.

Mireu les següents gràfiques de funcions i observeu el pendent de la recta tangent en el punt dibuixat.

f(x) és estrictament creixent en el punt

A ( en x = 1) i $f space apostrophe left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 greater than 0$

g(x) és estrictament decreixent en el punt

B ( en x = 2) i $f space apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals negative 4 less than 0$

h(x) és estrictament decreixent en el

punt C ( en x = -1.5) i $h space apostrophe left parenthesis negative 1.5 right parenthesis equals negative 2.38 less than 0$

h(x) és estrictament creixent en el

punt D ( en x = 0.5) i $h space apostrophe left parenthesis 0.5 right parenthesis equals 0.65 greater than 0$

La relació que es compleix entre derivada i creixement és la següent :

$S i space f apostrophe left parenthesis a right parenthesis greater than 0 space rightwards arrow f left parenthesis x right parenthesis space é s space e s t r i c t a m e n t space c r e i x e n t space e n space x equals a$
$S i space f apostrophe left parenthesis a right parenthesis less than 0 space rightwards arrow f left parenthesis x right parenthesis space é s space e s t r i c t a m e n t space d e c r e i x e n t space e n space x equals a$

Al contrari no té perquè ser cert. En el següent exemple veureu que si una funció és estrictament creixent en un punt x=a no implica que f '(a) >0

j(x) és estrictament creixent en el punt

E ( en x = 2) i $f space apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals 0$