Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Relació 1a derivada amb creixement i decreixement

Què té a veure la derivada d'una funció en un punt amb que la funció creixi o decreixi en aquest punt?

Doncs hi ha una relació total.

Mireu les següents gràfiques de funcions i observeu el pendent de la recta tangent en el punt dibuixat.

f(x) és estrictament creixent en el punt

A ( en x = 1) i $f Leerzeichen apostroph linke klammer 1 rechte klammer gleich 2 größer als 0$

g(x) és estrictament decreixent en el punt

B ( en x = 2) i $f Leerzeichen apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich minus 4 kleiner als 0$

h(x) és estrictament decreixent en el

punt C ( en x = -1.5) i $h Leerzeichen apostroph linke klammer minus 1.5 rechte klammer gleich minus 2.38 kleiner als 0$

h(x) és estrictament creixent en el

punt D ( en x = 0.5) i $h Leerzeichen apostroph linke klammer 0.5 rechte klammer gleich 0.65 größer als 0$

La relació que es compleix entre derivada i creixement és la següent :

$S i Leerzeichen f apostroph linke klammer a rechte klammer größer als 0 Leerzeichen rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen e s t r i c t a m e n t Leerzeichen c r e i x e n t Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich a$
$S i Leerzeichen f apostroph linke klammer a rechte klammer kleiner als 0 Leerzeichen rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen e s t r i c t a m e n t Leerzeichen d e c r e i x e n t Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich a$

Al contrari no té perquè ser cert. En el següent exemple veureu que si una funció és estrictament creixent en un punt x=a no implica que f '(a) >0

j(x) és estrictament creixent en el punt

E ( en x = 2) i $f Leerzeichen apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich 0$