Dubtes freqüents d'Anàlisi I: Relació 1a derivada amb creixement i decreixement

Què té a veure la derivada d'una funció en un punt amb que la funció creixi o decreixi en aquest punt?

Doncs hi ha una relació total.

Mireu les següents gràfiques de funcions i observeu el pendent de la recta tangent en el punt dibuixat.

f(x) és estrictament creixent en el punt

A ( en x = 1) i $f espai apòstrof parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual 2 major que 0$

g(x) és estrictament decreixent en el punt

B ( en x = 2) i $f espai apòstrof parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual menys 4 menor que 0$

h(x) és estrictament decreixent en el

punt C ( en x = -1.5) i $h espai apòstrof parèntesi esquerre menys 1.5 parèntesi dret igual menys 2.38 menor que 0$

h(x) és estrictament creixent en el

punt D ( en x = 0.5) i $h espai apòstrof parèntesi esquerre 0.5 parèntesi dret igual 0.65 major que 0$

La relació que es compleix entre derivada i creixement és la següent :

$S i espai f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret major que 0 espai fletxa dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai e s t r i c t a m e n t espai c r e i x e n t espai e n espai x igual a$
$S i espai f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret menor que 0 espai fletxa dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai e s t r i c t a m e n t espai d e c r e i x e n t espai e n espai x igual a$

Al contrari no té perquè ser cert. En el següent exemple veureu que si una funció és estrictament creixent en un punt x=a no implica que f '(a) >0

j(x) és estrictament creixent en el punt

E ( en x = 2) i $f espai apòstrof parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual 0$