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DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

Com trobar les derivades laterals

Com puc trobar les derivades laterals per un valor de x concret?

La major part de les derivades laterals les busquem en funcions definides a trossos i en els punts on hi ha un trencament de la funció.

Els passos a seguir són les següents:
1.- Buscar la funció f '(x) derivant cada expressió de cada tros i traient la condició d'igualtat ( si hi ha ≤ posem < i si hi ha ≥ hi posem >) ja que pot ser que en els punt de trencament no existeixi la derivada ja sigui perquè no és contínua o perquè les derivades laterals no coincideixen.

2.- Per fer les derivades laterals fem el límit de l'expressió derivada que correspongui.

Amb això ja tindríem les derivades laterals. Si a més a més aquestes derivades coincideixen i la funció és contínua en aquell punt llavors també serà derivable en aquest punt i podrem posar el "=" en la condició de f'(x) que correspongui.

Exemple 1:

Sigui la funció f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x al cuadrado menos 3 x espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor o igual que 2 fin celda fila celda 2 x espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar espacio

Volem trobar f subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio i espacio espacio espacio f subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 2 x menos 3 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor que 2 fin celda fila celda 2 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar

2.- Ara busquem f subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio i espacio espacio espacio f subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio

f subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de 2 x menos 3 igual envoltorio caja espacio espacio 1 espacio fin envoltorio f subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de 2 igual espacio envoltorio caja espacio 2 espacio espacio fin envoltorio espacio

Ara ja hem acabat i el que veiem és que f(x) no és derivable en x=2 ja que les derivades laterals no coincideixen.

Per tant podem dir que la funció derivada de f(x) ve donada per l'expressió f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 2 x menos 3 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor que 2 fin celda fila celda 2 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar

Exemple 2:

Sigui la funció g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x al cuadrado menos x espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor o igual que 2 fin celda fila celda 3 x menos 4 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar espacio

Volem trobar g subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio i espacio espacio espacio g subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

g espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 2 x menos 1 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor que 2 fin celda fila celda 3 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar

2.- Ara busquem g subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio i espacio espacio espacio g subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio

g subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de g espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de 2 x menos 1 igual envoltorio caja espacio espacio 3 espacio fin envoltorio g subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de g espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de 3 igual espacio envoltorio caja espacio 3 espacio fin envoltorio espacio

Ara ja hem acabat de buscar les derivades laterals.

A part d'això el que veiem és que f(x) sí podria ser derivable en x=2 ja que les derivades laterals coincideixen.

Per poder dir que hi ha derivada en x=2 hauríem de mirar que sigui contínua que sí que ho és ja que :

1 flecha derecha g paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio e x i s t e i x espacio i espacio v a l espacio 2 2 flecha derecha límite cuando x flecha derecha 2 de g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio t a m b é espacio e x i s t e i x espacio i espacio v a l espacio t a m b é espacio 2 espacio j a espacio q u e espacio e l s espacio l í m i t s espacio l a t e r a l s espacio c o i n c i d e i x e n espacio espacio espacio espacio espacio espacio abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de x al cuadrado menos x igual 4 menos 2 igual 2 fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 2 de 3 x menos 4 igual 6 menos 4 igual 2 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio espacio flecha derecha límite cuando x flecha derecha 2 de g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual espacio 2

I per tant g apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual g subíndice menos apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio igual espacio g subíndice más apóstrofo paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio igual 3

Per tant podem dir que la funció derivada de g(x) ve donada per l'expressió g espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 2 x menos 1 espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x menor o igual que 2 fin celda fila celda 3 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio s i espacio espacio espacio x mayor que 2 fin celda fin tabla cerrar(posem el "=" ja que existeix derivada en x=2)

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