Previous
Next

DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

Com trobar les derivades laterals

Com puc trobar les derivades laterals per un valor de x concret?

La major part de les derivades laterals les busquem en funcions definides a trossos i en els punts on hi ha un trencament de la funció.

Els passos a seguir són les següents:
1.- Buscar la funció f '(x) derivant cada expressió de cada tros i traient la condició d'igualtat ( si hi ha ≤ posem < i si hi ha ≥ hi posem >) ja que pot ser que en els punt de trencament no existeixi la derivada ja sigui perquè no és contínua o perquè les derivades laterals no coincideixen.

2.- Per fer les derivades laterals fem el límit de l'expressió derivada que correspongui.

Amb això ja tindríem les derivades laterals. Si a més a més aquestes derivades coincideixen i la funció és contínua en aquell punt llavors també serà derivable en aquest punt i podrem posar el "=" en la condició de f'(x) que correspongui.

Exemple 1:

Sigui la funció f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared minus 3 x space space space space s i space space space x less or equal than 2 end cell row cell 2 x space space space space space space space space space space space space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close space

Volem trobar f subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space space space space i space space space f subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x minus 3 space space space s i space space space x less than 2 end cell row cell 2 space space space space space space space space space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close

2.- Ara busquem f subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space space space space i space space space f subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space

f subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of 2 x minus 3 equals box enclose space space 1 space end enclose f subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of 2 equals space box enclose space 2 space space end enclose space

Ara ja hem acabat i el que veiem és que f(x) no és derivable en x=2 ja que les derivades laterals no coincideixen.

Per tant podem dir que la funció derivada de f(x) ve donada per l'expressió f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x minus 3 space space space s i space space space x less than 2 end cell row cell 2 space space space space space space space space space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close

Exemple 2:

Sigui la funció g left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared minus x space space space space s i space space space x less or equal than 2 end cell row cell 3 x minus 4 space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close space

Volem trobar g subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space space space space i space space space g subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

g space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x minus 1 space space space s i space space space x less than 2 end cell row cell 3 space space space space space space space space space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close

2.- Ara busquem g subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space space space space i space space space g subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space

g subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of g space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of 2 x minus 1 equals box enclose space space 3 space end enclose g subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of g space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of 3 equals space box enclose space 3 space end enclose space

Ara ja hem acabat de buscar les derivades laterals.

A part d'això el que veiem és que f(x) sí podria ser derivable en x=2 ja que les derivades laterals coincideixen.

Per poder dir que hi ha derivada en x=2 hauríem de mirar que sigui contínua que sí que ho és ja que :

1 rightwards arrow g left parenthesis 2 right parenthesis space e x i s t e i x space i space v a l space 2 2 rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of g left parenthesis x right parenthesis space t a m b é space e x i s t e i x space i space v a l space t a m b é space 2 space j a space q u e space e l s space l í m i t s space l a t e r a l s space c o i n c i d e i x e n space space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of g left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of x squared minus x equals 4 minus 2 equals 2 end cell row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of g left parenthesis x right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 2 of 3 x minus 4 equals 6 minus 4 equals 2 end cell end table close curly brackets space space rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of g left parenthesis x right parenthesis space equals space 2

I per tant g apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis equals g subscript minus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space equals space g subscript plus apostrophe left parenthesis 2 right parenthesis space equals 3

Per tant podem dir que la funció derivada de g(x) ve donada per l'expressió g space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x minus 1 space space space s i space space space x less or equal than 2 end cell row cell 3 space space space space space space space space space space space s i space space space x greater than 2 end cell end table close(posem el "=" ja que existeix derivada en x=2)

Previous
Next