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DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

Com trobar les derivades laterals

Com puc trobar les derivades laterals per un valor de x concret?

La major part de les derivades laterals les busquem en funcions definides a trossos i en els punts on hi ha un trencament de la funció.

Els passos a seguir són les següents:
1.- Buscar la funció f '(x) derivant cada expressió de cada tros i traient la condició d'igualtat ( si hi ha ≤ posem < i si hi ha ≥ hi posem >) ja que pot ser que en els punt de trencament no existeixi la derivada ja sigui perquè no és contínua o perquè les derivades laterals no coincideixen.

2.- Per fer les derivades laterals fem el límit de l'expressió derivada que correspongui.

Amb això ja tindríem les derivades laterals. Si a més a més aquestes derivades coincideixen i la funció és contínua en aquell punt llavors també serà derivable en aquest punt i podrem posar el "=" en la condició de f'(x) que correspongui.

Exemple 1:

Sigui la funció f linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x im Quadrat minus 3 x Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner oder gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle 2 x Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen Leerzeichen

Volem trobar f unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen f unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 2 x minus 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen

2.- Ara busquem f unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen f unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen

f unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von 2 x minus 3 gleich Feld eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen 1 Leerzeichen Ende f unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von 2 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 2 Leerzeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen

Ara ja hem acabat i el que veiem és que f(x) no és derivable en x=2 ja que les derivades laterals no coincideixen.

Per tant podem dir que la funció derivada de f(x) ve donada per l'expressió f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 2 x minus 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen

Exemple 2:

Sigui la funció g linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x im Quadrat minus x Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner oder gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle 3 x minus 4 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen Leerzeichen

Volem trobar g unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen g unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

g Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 2 x minus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen

2.- Ara busquem g unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen g unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen

g unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von g Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von 2 x minus 1 gleich Feld eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen 3 Leerzeichen Ende g unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von g Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von 3 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 3 Leerzeichen Ende Leerzeichen

Ara ja hem acabat de buscar les derivades laterals.

A part d'això el que veiem és que f(x) sí podria ser derivable en x=2 ja que les derivades laterals coincideixen.

Per poder dir que hi ha derivada en x=2 hauríem de mirar que sigui contínua que sí que ho és ja que :

1 rechtspfeil g linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen i Leerzeichen v a l Leerzeichen 2 2 rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von g linke klammer x rechte klammer Leerzeichen t a m b é Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen i Leerzeichen v a l Leerzeichen t a m b é Leerzeichen 2 Leerzeichen j a Leerzeichen q u e Leerzeichen e l s Leerzeichen l í m i t s Leerzeichen l a t e r a l s Leerzeichen c o i n c i d e i x e n Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von g linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von x im Quadrat minus x gleich 4 minus 2 gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von g linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 von 3 x minus 4 gleich 6 minus 4 gleich 2 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von g linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 2

I per tant g apostroph linke klammer 2 rechte klammer gleich g unterer Index minus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen g unterer Index plus apostroph linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen gleich 3

Per tant podem dir que la funció derivada de g(x) ve donada per l'expressió g Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 2 x minus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner oder gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer als 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen(posem el "=" ja que existeix derivada en x=2)

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