Dubtes freqüents d'Anàlisi I

Com puc trobar les derivades laterals per un valor de x concret?

La major part de les derivades laterals les busquem en funcions definides a trossos i en els punts on hi ha un trencament de la funció.

Els passos a seguir són les següents:
1.- Buscar la funció f '(x) derivant cada expressió de cada tros i traient la condició d'igualtat ( si hi ha ≤ posem < i si hi ha ≥ hi posem >) ja que pot ser que en els punt de trencament no existeixi la derivada ja sigui perquè no és contínua o perquè les derivades laterals no coincideixen.

2.- Per fer les derivades laterals fem el límit de l'expressió derivada que correspongui.

Amb això ja tindríem les derivades laterals. Si a més a més aquestes derivades coincideixen i la funció és contínua en aquell punt llavors també serà derivable en aquest punt i podrem posar el "=" en la condició de f'(x) que correspongui.

Exemple 1:

Sigui la funció

Volem trobar

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

2.- Ara busquem

Ara ja hem acabat i el que veiem és que f(x) no és derivable en x=2 ja que les derivades laterals no coincideixen.

Per tant podem dir que la funció derivada de f(x) ve donada per l'expressió

Exemple 2:

Sigui la funció

Volem trobar

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

2.- Ara busquem

Ara ja hem acabat de buscar les derivades laterals.

A part d'això el que veiem és que f(x) sí podria ser derivable en x=2 ja que les derivades laterals coincideixen.

Per poder dir que hi ha derivada en x=2 hauríem de mirar que sigui contínua que sí que ho és ja que :

I per tant

Per tant podem dir que la funció derivada de g(x) ve donada per l'expressió (posem el "=" ja que existeix derivada en x=2)