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BOLZANO

Puc aplicar Bolzano sempre?

Perquè no puc aplicar Bolzano si la funció no és contínua en l'interval tancat?

El teorema de Bolzano diu que si una funció f parenthèse gauche x parenthèse droite és contínua en un interval tancat [a,b] i en els extrems d'aquests pren valors de diferent signe ouvrir la parenthèse f parenthèse gauche a parenthèse droite fois f parenthèse gauche b parenthèse droite inférieur à 0 fermer la parenthèse, aleshores hi ha almenys un valor c appartient à parenthèse gauche a virgule b parenthèse droite tal que f parenthèse gauche c parenthèse droite égal à 0

Exemple 1:

Ara considerem la funció f(x) que té per gràfica

Veiem que f parenthèse gauche 0 parenthèse droite fois f parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite égal à 3 fois parenthèse gauche moins 2 parenthèse droite inférieur à 0 però en canvi no existeix cap arrel en l'interval (-2,0).

Això és degut a que la funció no és contínua en [-2,0] doncs en x = -1 presenta una discontinuïtat de salt.

Per tant al no complir-se una de les condicions o hipòtesis del teorema no podem garantir que existeixi un zero de la funció entre -2 i 0

Exemple 2:

Ara considerem la funció f(x) que té per gràfica

Veiem que f parenthèse gauche 1 parenthèse droite fois f parenthèse gauche 3 parenthèse droite égal à parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois 2 inférieur à 0 però en canvi no existeix cap arrel en l'interval (1,3).

Això és degut a que la funció no és contínua en [1,3] doncs en x = 1 presenta una discontinuïtat de salt.

Per tant al no complir-se una de les condicions o hipòtesis del teorema no podem garantir que existeixi un zero de la funció entre 1 i 3

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