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SISTEMES D'EQUACIONS

Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Farem un exemple de discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

El sistema és:

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule 3 x moins 2 y plus 7 z égal à 1 fin de cellule ligne cellule x moins 5 y plus 2 z égal à 8 fin de cellule ligne cellule moins 2 x plus 10 y moins 4 z égal à moins 16 fin de cellule fin de tableau accolade fermée double flèche vers la droite espace espace ouvrir la parenthèse table ligne 3 cellule moins 2 fin de cellule 7 1 ligne 1 cellule moins 5 fin de cellule 2 8 ligne cellule moins 2 fin de cellule 10 cellule moins 4 fin de cellule cellule moins 16 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse

fixeu-vos que podem intercanviar les dues primeres files (per tal de que el primer element sigui un 1) i fins i tot podem dividir per 2 la tercera fila. D'aquesta manera tenim:

ouvrir la parenthèse table ligne 1 cellule moins 5 fin de cellule 2 8 ligne 3 cellule moins 2 fin de cellule 7 1 ligne cellule moins 2 fin de cellule 10 cellule moins 4 fin de cellule cellule moins 16 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse

esglaonant:

ouvrir la parenthèse table ligne 1 cellule moins 5 fin de cellule 2 8 ligne 3 cellule moins 2 fin de cellule 7 1 ligne cellule moins 2 fin de cellule 10 cellule moins 4 fin de cellule cellule moins 16 fin de cellule fin de table fermer la parenthèse flèche vers la droite ouvrir la parenthèse table ligne 1 cellule moins 5 fin de cellule 2 8 ligne 0 13 1 cellule moins 23 fin de cellule ligne 0 0 0 0 fin de table fermer la parenthèse

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombe d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

13y + z = -23

agafarem y com el paràmetre λ

13y + z = -23 => z = -13λ - 23

substituint en la 1a equació x -5y +2z =8 queda:

x - 5λ + 2(-13λ - 23) = 8 => x - 5λ - 26λ - 46 = 8 =>

x = 54 + 41λ

Per tant les solucions són

accolade ouverte table ligne cellule gras x gras égal à gras 54 gras plus gras 41 gras lambda gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule ligne cellule gras y gras égal à gras lambda gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace fin de cellule ligne cellule gras z gras égal à gras moins gras 13 gras lambda gras moins gras 23 fin de cellule fin de table fin espace espace espace espace pour tous simple lambda appartient à IR

(pour tous lambda appartient à simple nombres réels es llegeix com "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

o bé les podem expressar com:

parenthèse gauche gras 54 gras plus gras 41 gras lambda gras virgule gras espace gras espace gras lambda gras virgule gras espace gras moins gras 13 gras lambda gras moins gras 23 gras parenthèse droite

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