Previous
Next

DETERMINANTS

Determinants d'ordre >3

Encara que pràcticament ens limitarem als determinants d'ordre 2 i als d'ordre 3 (per Sarrus), explicarem com calcular determinants de qualsevol ordre.

Els determinants d'una matriu d'ordre més gran que 3 els hem de fer desenvolupant el determinant per una fila o columna.

El determinant és la suma dels productes dels elements d'una fila o columna multiplicada pels seus adjunts corresponents.

Exemple:

Calcular el determinant d ela matriu

A equals open parentheses table row cell negative 2 end cell 0 1 2 row 1 2 1 1 row 3 1 2 0 row cell negative 5 end cell cell negative 1 end cell 3 4 end table close parentheses

open vertical bar A close vertical bar equals open vertical bar table row cell bold minus bold 2 end cell bold 0 bold 1 bold 2 row 1 2 1 1 row 3 1 2 0 row cell negative 5 end cell cell negative 1 end cell 3 4 end table close vertical bar

Desenvolupem, per exemple, per la primera fila.

Hem d'agafar els menors complementaris de cada element de la primera fila:

Menor complementari de l'element a11 = -2 bold italic m subscript bold 11 bold equals open vertical bar table row bold 2 bold 1 bold 1 row bold 1 bold 2 bold 0 row cell bold minus bold 1 end cell bold 3 bold 4 end table close vertical bar bold equals bold 17

Menor complementari de l'element a12 = 0 bold italic m subscript bold 12 bold equals open vertical bar table row bold 1 bold 1 bold 1 row bold 3 bold 2 bold 0 row cell bold minus bold 5 end cell bold 3 bold 4 end table close vertical bar bold equals bold 15

Menor complementari de l'element a13 = 1 bold italic m subscript bold 13 bold equals open vertical bar table row bold 1 bold 2 bold 1 row bold 3 bold 1 bold 0 row cell bold minus bold 5 end cell cell bold minus bold 1 end cell bold 4 end table close vertical bar bold equals bold minus bold 18

Menor complementari de l'element a14 = 2 bold italic m subscript bold 14 bold equals open vertical bar table row bold 1 bold 2 bold 1 row bold 3 bold 1 bold 2 row cell bold minus bold 5 end cell cell bold minus bold 1 end cell bold 3 end table close vertical bar bold equals bold minus bold 31

Ara, formem els adjunts, que simplement és igual al menor complementari o canviat de signe.

Es fa canvi de signe o no segons la regla de signes alternats open vertical bar table row bold plus bold minus bold plus bold minus row minus plus minus plus row plus minus plus minus row minus plus minus plus end table close vertical bar

O sigui, els menors complementaris dels element de la primera fila són:

M11 = m11 = 17

M12 = - m12 = -15

M13 = m13 = -18

M14 = - m13 = - (-31) = 31

I ara ja simplement:

open vertical bar A close vertical bar equals open vertical bar table row cell negative 2 end cell 0 1 2 row 1 2 1 1 row 3 1 2 0 row cell negative 5 end cell cell negative 1 end cell 3 4 end table close vertical bar equals space minus 2 M subscript 11 plus 0 times M subscript 12 plus 1 times M subscript 13 plus 2 times M subscript 14 equals negative 2 times 17 plus 0 times left parenthesis negative 15 right parenthesis plus 1 times left parenthesis negative 18 right parenthesis plus 2 times 31 equals 10

Observacions:

- Aquest determinant ho hem calculat desenvolupant per la primera fila. Ho podríem haver fet amb qualsevol fila o columna (com a exercici ho podeu fer amb altra fila o columna i comprovar que us dóna el mateix).

- Aquest mètode serveix per calcular qualsevol determinant. també els d'ordre 3 però normalment els fem per Sarrus.

- Fixeu-vos en l'exerici que l'adjunt M12 no calia calcular-lo, ja que multipliquem per l'element 0. Aixó ens indica que serà més senzill (de càlcul) si agafem una fila o columna que tingui zeros (si la hi ha).

Previous
Next