Dubtes freqüents Àlgebra

Encara que pràcticament ens limitarem als determinants d'ordre 2 i als d'ordre 3 (per Sarrus), explicarem com calcular determinants de qualsevol ordre.

Els determinants d'una matriu d'ordre més gran que 3 els hem de fer desenvolupant el determinant per una fila o columna.

El determinant és la suma dels productes dels elements d'una fila o columna multiplicada pels seus adjunts corresponents.

Exemple:

Calcular el determinant d ela matriu

Desenvolupem, per exemple, per la primera fila.

Hem d'agafar els menors complementaris de cada element de la primera fila:

Menor complementari de l'element a₁₁ = -2

Menor complementari de l'element a₁₂ = 0

Menor complementari de l'element a₁₃ = 1

Menor complementari de l'element a₁₄ = 2

Ara, formem els adjunts, que simplement és igual al menor complementari o canviat de signe.

Es fa canvi de signe o no segons la regla de signes alternats

O sigui, els menors complementaris dels element de la primera fila són:

M₁₁ = m₁₁ = 17

M₁₂ = - m₁₂ = -15

M₁₃ = m₁₃ = -18

M₁₄ = - m₁₃ = - (-31) = 31

I ara ja simplement:

Observacions:

- Aquest determinant ho hem calculat desenvolupant per la primera fila. Ho podríem haver fet amb qualsevol fila o columna (com a exercici ho podeu fer amb altra fila o columna i comprovar que us dóna el mateix).

- Aquest mètode serveix per calcular qualsevol determinant. també els d'ordre 3 però normalment els fem per Sarrus.

- Fixeu-vos en l'exerici que l'adjunt M₁₂ no calia calcular-lo, ja que multipliquem per l'element 0. Aixó ens indica que serà més senzill (de càlcul) si agafem una fila o columna que tingui zeros (si la hi ha).