Previous
Next

MATRIUS

Rang d'una matriu

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu

space space space space space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 2 3 5 row 1 3 cell negative 8 end cell end table close parentheses

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F1 - F2

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2.

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents.

A vegades es pot veure a ull, però normalment el que fem és esglaonar la matriu (amb combinacions lineals de les files fer zeros sota la diagonal) i llavors per veure el rang:

El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les.

Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu:

space space space space space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 2 3 5 row 1 3 cell negative 8 end cell end table close parentheses space space space space table row blank row cell negative 2 f subscript 1 plus f subscript 2 space end subscript end cell row cell f subscript 3 minus f subscript 1 end cell end table space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 7 row 0 1 cell negative 7 end cell end table close parentheses space space space space space space table row blank row blank row cell f subscript 3 plus f subscript 2 end cell end table space space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell row 0 cell negative 1 end cell 7 row 0 0 0 end table close parentheses space space

Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang és 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El mètode de calcular el rang és general per qualsevol matriu sigui de l'ordre que sigui.

El procediemt és fer transformacions elementals pe esglaonar la matriu (obtenir zeros sota la diagonal) i contar el nombre de files no nul·les.

(també es pot fer veient els menors complementaris d'ordre més gran diferent de zero, però considero que en general és un mètode amb més dificultat)

Per exemple:

rang de la matriu open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row cell negative 1 end cell 3 1 1 row 2 2 0 1 row 3 1 3 3 row 0 2 4 3 end table close parentheses

open parentheses table row bold 1 cell negative 1 end cell 3 2 row cell negative 1 end cell 3 1 1 row 2 2 0 1 row 3 1 3 3 row 0 2 4 3 end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 bold 2 4 3 row 0 4 cell negative 6 end cell cell negative 3 end cell row 0 4 cell negative 6 end cell cell negative 3 end cell row 0 2 4 3 end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell bold minus bold 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 0 end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 0 row 0 0 0 0 end table close parentheses

(he marcat en blau el que es diuen "els pivots", amb els que "fem zeros" les files de sota)

Aquesta matriu té rang 3

Altre exemple:

rang de la matriu open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row cell negative 1 end cell 3 1 1 row 2 2 0 1 row 3 1 3 3 row 0 2 4 0 end table close parentheses

open parentheses table row bold 1 cell negative 1 end cell 3 2 row cell negative 1 end cell 3 1 1 row 2 2 0 1 row 3 1 3 3 row 0 2 4 0 end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 bold 2 4 3 row 0 4 cell negative 6 end cell cell negative 3 end cell row 0 4 cell negative 6 end cell cell negative 3 end cell row 0 2 4 0 end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell bold minus bold 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 cell negative 3 end cell end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 0 row 0 0 0 cell negative 3 end cell end table close parentheses

Ara fent un canvi de fila ja tindrem la matriu esglaonada:

open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 0 row 0 0 0 cell negative 3 end cell end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 1 end cell 3 2 row 0 2 4 3 row 0 0 cell negative 14 end cell cell negative 9 end cell row 0 0 0 cell negative 3 end cell row 0 0 0 0 end table close parentheses

El rang de la matriu és 4

Previous
Next