Sistemes digitals (Resum)

Les funcions canòniques (per minterms o maxterms) són fàcils de obtenir, però no són les funcions més simples possibles que poden donar la taula de veritat indicada. Podeu comprovar que una funció com realitza la mateixa taula de veritat de l'exemple anterior d'una forma més simplificada.

Existeixen llavors mètodes per a obtenir les funcions més simples possible, la qual cosa és necessària per implementar circuits digitals amb el mínim nombre de portes lògiques possibles i abaratir costos i espai.

Simplificació algebraica de funcions

Per simplificar funcions podem utilitzar el sistema algebraic que consisteix en aplicar les lleis i teoremes de l’àlgebra de Boole ja explicats:

Exemples

1.- Simplifica aplicant l'àlgebra de Boole:

2.- Simplifica la següent equació, , aplicant el teorema de De Morgan.

3.- Simplifica la següent equació:

Simplificació de funcions pel mètode de Karnaugh

El mètode de simplificació de Karnaugh consisteix en escriure les taules de la veritat en un format de taula determinat, també anomenat mapes de Karnaugh, segons el nombre de entrades. Aquesta disposició especial permet identificar ràpidament els termes que es diferencien en una sola variable i poder així eliminar-la, obtenint com a resultat una simplificació de la funció.

Les taules que s’utilitzen depenen del nombre de variables de la funció, i són les següents:

Nosaltres utilitzarem només les de 2 i 3 variables d'entrada.

Els passos a seguir per a la simplificació són els següents:

1- El primer pas consistirà en moure els <1> de la taula de veritat a cada coordenada del mapa de Karnaugh corresponent a la combinació d’entrades que correspongui.

2- El segon pas serà agrupar tots els “1” en grups de 1, 2, 4, 8, 16,.. 2ⁿ <1> contigus, amb les següents consideracions:

• Els “1” agrupats han de ser contigus en horitzontal o vertical, mai en diagonal.

• Quan més gran sigui el grup en que podem agrupar els “1” , més simplificada serà la funció resultant. Per tant hem de fer agrupacions sempre el més grans possible.

• Un “1” pot estar compartit per diferents grups, però no tots els “1” d'un grup poden pertànyer a altres grups.

• Els mapes de karnaugh son en realitat esferes per la qual cosa las caselles dels extrems també poden formar grups amb els uns de l’altre extrem.

3- El tercer pas és escriure les entrades que permeten obtenir cada grup dins de la taula. Per a cada grup escrivim les combinacions de les entrades que siguin comunes a totes les caselles del grup multiplicades de la següent manera: Si la entrada val 1 escriurem directament l'entrada corresponent i si val 0 escriurem l'entrada negada.

4- El quart i últim pas serà sumar les coordenades que identifiquen cada grup.

Tot això ho veurem millor a partir d'exemples concrets...

Exemples

1.- Extreu la funció simplificada de la taula de la veritat de la següent figura:

Traspassem els 3 “1” lògics de la taula al corresponent mapa de Karnaugh de 2 entrades. El primer “1” que correspon a a=0, b=1 l'escrivim a la primera columna i segona fila. El segon que correspon a a=1,b=0 l'escrivim a la segona columna i primera fila i el tercer “1” que correspon a a=1,b=1 l'escrivim a la segona columna i segona fila.

Una vegada passada la informació de la taula al mapa de Karnaugh, observem que podem agrupar els “1” en dos grups de 2 elements (un 1 queda encabit en els dos grups). El primer grup ocupa la segona columna, la qual queda identificada per a=1 (i que és la zona “a” de la taula2-fig 4) i el segon grup ocupa tota la segona fila, la qual queda identificada per b=1 (i que és la zona “b” de la taula 2 -fig 2).

Una vegada identificats els grups, la funció resultant serà la suma de les coordenades de tots els grups, en aquest cas:

2.- Extreu la funció simplificada de la taula de la veritat de la següent figura:

Traspassem els 4 “1” lògics que hi ha a la taula a les coordenades corresponents del mapa de Karnaugh. El primer “1” el tenim quan les entrades són a=0 b=0 c=0 i el posem a la primera fila i columna (coordenada “00” de ab i “0” de c). El segon “1” lògic el tenim quan les entrades són a=0 b=0 c=1 i el posem a la segona fila i primera columna (coordenada “00” de ab i “1“de c). El tercer “1” lògic el tenim quan les entrades són a=0 b=1 c=1 i el posem a la segona fila i segona columna (coordenada “01” de ab i “1“de c) i el quart “1” lògic el tenim quan les entrades són a=1 b=1 c=1 i el posem a la segona fila i tercera columna (coordenada “11” de ab i “1“de c).

Seguidament agrupem els “1” en grups el més gran possible. Veiem que poder fer 2 grups de 2 “1” cadascun i que no podem fer cap grup de quatre (no es poden fer grups de 3!). El primer grup ocupa tota la primera columna i aquesta columna queda definida per a=0 b=0, i desapareix c. També podem observar que aquest grup és la intersecció de la zona (Taula 2, fig 7) amb la zona (Taula 2, fig 10). Per tant el grup queda definit per el producte .

El segon grup ocupa la segona fila, amb la intersecció de la segona i tercera columna. La segona fila queda definida per que c=1, mentre que la segona i tercera fila tenen en comú que en les dos el valor de b=1 , independentment de a. També podem observar que aquest grup és la intersecció de la zona (Taula 2, fig 6) amb la zona (Taula 2, fig 8). Per tant el grup queda definit per el producte .

Com que tenim les coordenades de cada grup, el resultat final de la funció lògica serà la suma de les coordenades de cada grup:

3.- Extreu la funció simplificada de la taula de la veritat de la següent figura:

Traspassem els “1” de la taula al mapa de Karnaugh de 3 entrades i agrupem els “1” en grups el més gran possibles.

Veiem que poder fer 2 grups, un primer grup de 4 elements i un segon grup de 2 elements (recordeu que les cel·les dels extrems es comuniquen entre elles com si fos un cilindre). Els quatre “1” del primer grup tenen en comú que a=1, independentment del valor de b i c i que corresponen a la zona “a” de la Taula2 Fig 9. El segon grup està en la segona fila identificada per c=1 i en la primera i quarta columna, les quals tenen en comú que en elles b=0. Aquest segon grup és la intersecció de la zona “c” (Taula 2 Fig 6) i la zona “b negada” (Taula 2 Fig 10), és a dir, que és .

Com que tenim les coordenades de cada grup, el resultat final de la funció lògica serà la suma de les coordenades de cada grup: