Sistemes digitals (Resum)
3. Àlgebra de Boole
3.1. Operacions lògiques
-
suma producte negació a b a+b a b a·b a ā
0
0
0+0=0
0
0
0·0=0
0
1
0
1
0+1=1
0
1
0·1=0
1
0
1
0
1+0=1
1
0
1·0=0
1
1
1+1=1
1
1
1·1=1
Respecte a les matemàtiques tradicionals, hem de fixar-nos en el cas diferenciat que es presenta 1+1=1 i com a concepte en aquesta operació digital estem sumant una cosa verdadera a una altre que també ho és i, per tant, el resultat també serà verdader.
La negació d'una variable digital és l'altre valor possible, és a dir, el valor digital s'inverteix, negar un 1 és un 0, i negar un 0 és un 1. L'operació negació es representa mitjançant un guió a sobre de la variable digital que es nega. La funció a negada és ā.
Propietats
a.- Commutativa
b.- Associativa
Respecte la suma
Respecte el producte
c.- Distributiva
Respecte la suma
Respecte el producte
Teoremes o operacions lògiques
a.- Sumar o multiplicar una variable digital per ella mateixa dona ella mateixa:
b.- Qualsevol cosa sumada a 1 dona 1 i qualsevol cosa multiplicada per 0 és 0:
c.- La negació és l'operació complementaria respecte a la suma i el producte:
d.- Lleis de l'absorció, es verifiquen les següents igualtats:
1.- 2.- 3.-
Veiem les demostracions:
1.-
2.-
3.-
e.- Primera llei de De Morgan: sumar 2 valors i negar-los és igual a negar-los i multiplicar-los
f.- Segona llei de De Morgan: multiplicar 2 valors i negar-los és negar-los i sumar-los