Previous
Next

Problema aplicat 1

Quan un malalt pren un medicament, aquest s'absorbeix i a partir d'un cert moment  l'organisme comença a eliminar-lo, de manera que la seva concentració en sang C(t) (mesurada en mg/l) va disminuint segons aquesta funció: bold italic C bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 0 bold comma bold 05 bold times bold italic e to the power of bold minus bold 0 bold comma bold 3 bold times bold t end exponent essent t el temps mesurat en minuts.


Es demana:

a) Quina és la concentració de medicament en sang inicial (t=0)?

b) Quina concentració en sang té el malalt després d'un quart d'hora?

c) Quant de temps ha de transcórrer perquè la concentració de medicament en sang sigui el 10% de la inicial?

Resolució:
a)
La concentració inicial la tindrà quan t=0, és a dir hem de calcular la imatge de 0 per la funció i per tant només ens cal substituir t=0 a la funció i operar.
C left parenthesis 0 right parenthesis equals 0 comma 05 times e to the power of negative 0 comma 3 times 0 end exponent equals 0 comma 05 times e to the power of 0 equals 0 comma 05 times 1 equals 0 comma 05
La concentració inicial de medicament a la sang és de 0,05mg/l.

 
b)
La concentració passat un quart d'hora la tindrem a l'instant 15, per tant hem de calcular la imatge de 15 per la funció C(t) substituint t per 15.
C left parenthesis 15 right parenthesis equals 0 comma 05 times e to the power of negative 0 comma 3 times 15 end exponent equals 0 comma 05 times e to the power of negative 4 comma 5 end exponent equals 0 comma 05 times 0 comma 011108996 equals 5 comma 55 times 10 to the power of negative 4 end exponent
 
La concentració després de 15 minuts de medicament a la sang és d'aproximadament 5,55·10-4 mg/l.

c)
Calculem primer el 10% de la concentració inicial que serà 0,005.
Ara coneixem la concentració i hem de calcular el temps, és a dir, caldrà trobar l'antiimatge de 0,005 per la funció C(t) resolen l'equació exponencial que en resulta.
  0 comma 005 equals 0 comma 05 times e to the power of negative 0 comma 3 times t end exponent

Hem de treballar amb aquesta equació fins a aconseguir aïllar la t. Haurem de fer servir les tècniques explicades en la resolució d'equacions exponencials.
fraction numerator 0 comma 005 over denominator 0 comma 05 end fraction equals e to the power of negative 0 comma 3 times t end exponent 0 comma 1 equals e to the power of negative 0 comma 3 times t end exponent space space a p l i q u e m space ln space a l s space d o s space m e m b r e s ln left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis equals ln left parenthesis e to the power of negative 0 comma 3 times t end exponent right parenthesis ln left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis equals negative 0 comma 3 t rightwards arrow t equals negative fraction numerator ln left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis over denominator 0 comma 3 end fraction almost equal to 7 comma 67528 space m i n almost equal to 7 space m space i space 40 space s
S'aconsegueix un 10% de concentració de medicament a la sang transcorreguts uns 7 minuts i 40 segons aproximadament.

Previous
Next