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Problema aplicat 1

Quan un malalt pren un medicament, aquest s'absorbeix i a partir d'un cert moment  l'organisme comença a eliminar-lo, de manera que la seva concentració en sang C(t) (mesurada en mg/l) va disminuint segons aquesta funció: bold italic C gras parenthèse gauche bold italic t gras parenthèse droite gras égal à gras 0 gras virgule gras 05 gras fois bold italic e puissance gras moins gras 0 gras virgule gras 3 gras fois gras t fin de l'exposant essent t el temps mesurat en minuts.


Es demana:

a) Quina és la concentració de medicament en sang inicial (t=0)?

b) Quina concentració en sang té el malalt després d'un quart d'hora?

c) Quant de temps ha de transcórrer perquè la concentració de medicament en sang sigui el 10% de la inicial?

Resolució:
a)
La concentració inicial la tindrà quan t=0, és a dir hem de calcular la imatge de 0 per la funció i per tant només ens cal substituir t=0 a la funció i operar.
C parenthèse gauche 0 parenthèse droite égal à 0 virgule 05 fois e puissance moins 0 virgule 3 fois 0 fin de l'exposant égal à 0 virgule 05 fois e puissance 0 égal à 0 virgule 05 fois 1 égal à 0 virgule 05
La concentració inicial de medicament a la sang és de 0,05mg/l.

 
b)
La concentració passat un quart d'hora la tindrem a l'instant 15, per tant hem de calcular la imatge de 15 per la funció C(t) substituint t per 15.
C parenthèse gauche 15 parenthèse droite égal à 0 virgule 05 fois e puissance moins 0 virgule 3 fois 15 fin de l'exposant égal à 0 virgule 05 fois e puissance moins 4 virgule 5 fin de l'exposant égal à 0 virgule 05 fois 0 virgule 011108996 égal à 5 virgule 55 fois 10 puissance moins 4 fin de l'exposant
 
La concentració després de 15 minuts de medicament a la sang és d'aproximadament 5,55·10-4 mg/l.

c)
Calculem primer el 10% de la concentració inicial que serà 0,005.
Ara coneixem la concentració i hem de calcular el temps, és a dir, caldrà trobar l'antiimatge de 0,005 per la funció C(t) resolen l'equació exponencial que en resulta.
  0 virgule 005 égal à 0 virgule 05 fois e puissance moins 0 virgule 3 fois t fin de l'exposant

Hem de treballar amb aquesta equació fins a aconseguir aïllar la t. Haurem de fer servir les tècniques explicades en la resolució d'equacions exponencials.
numérateur de la fraction 0 virgule 005 au-dessus du dénominateur 0 virgule 05 fin de la fraction égal à e puissance moins 0 virgule 3 fois t fin de l'exposant 0 virgule 1 égal à e puissance moins 0 virgule 3 fois t fin de l'exposant espace espace a p l i q u e m espace ln espace a l s espace d o s espace m e m b r e s ln parenthèse gauche 0 virgule 1 parenthèse droite égal à ln parenthèse gauche e puissance moins 0 virgule 3 fois t fin de l'exposant parenthèse droite ln parenthèse gauche 0 virgule 1 parenthèse droite égal à moins 0 virgule 3 t flèche vers la droite t égal à moins numérateur de la fraction ln parenthèse gauche 0 virgule 1 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 0 virgule 3 fin de la fraction presque égal à 7 virgule 67528 espace m i n presque égal à 7 espace m espace i espace 40 espace s
S'aconsegueix un 10% de concentració de medicament a la sang transcorreguts uns 7 minuts i 40 segons aproximadament.

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