Anterior
Següent

Problema aplicat 1

Quan un malalt pren un medicament, aquest s'absorbeix i a partir d'un cert moment  l'organisme comença a eliminar-lo, de manera que la seva concentració en sang C(t) (mesurada en mg/l) va disminuint segons aquesta funció: bold italic C negreta parèntesi esquerre bold italic t negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0 negreta coma negreta 05 negreta per bold italic e elevat a negreta menys negreta 0 negreta coma negreta 3 negreta per negreta t fi elevat essent t el temps mesurat en minuts.


Es demana:

a) Quina és la concentració de medicament en sang inicial (t=0)?

b) Quina concentració en sang té el malalt després d'un quart d'hora?

c) Quant de temps ha de transcórrer perquè la concentració de medicament en sang sigui el 10% de la inicial?

Resolució:
a)
La concentració inicial la tindrà quan t=0, és a dir hem de calcular la imatge de 0 per la funció i per tant només ens cal substituir t=0 a la funció i operar.
C parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual 0 coma 05 per e elevat a menys 0 coma 3 per 0 fi elevat igual 0 coma 05 per e elevat a 0 igual 0 coma 05 per 1 igual 0 coma 05
La concentració inicial de medicament a la sang és de 0,05mg/l.

 
b)
La concentració passat un quart d'hora la tindrem a l'instant 15, per tant hem de calcular la imatge de 15 per la funció C(t) substituint t per 15.
C parèntesi esquerre 15 parèntesi dret igual 0 coma 05 per e elevat a menys 0 coma 3 per 15 fi elevat igual 0 coma 05 per e elevat a menys 4 coma 5 fi elevat igual 0 coma 05 per 0 coma 011108996 igual 5 coma 55 per 10 elevat a menys 4 fi elevat
 
La concentració després de 15 minuts de medicament a la sang és d'aproximadament 5,55·10-4 mg/l.

c)
Calculem primer el 10% de la concentració inicial que serà 0,005.
Ara coneixem la concentració i hem de calcular el temps, és a dir, caldrà trobar l'antiimatge de 0,005 per la funció C(t) resolen l'equació exponencial que en resulta.
  0 coma 005 igual 0 coma 05 per e elevat a menys 0 coma 3 per t fi elevat

Hem de treballar amb aquesta equació fins a aconseguir aïllar la t. Haurem de fer servir les tècniques explicades en la resolució d'equacions exponencials.
fracció numerador 0 coma 005 entre denominador 0 coma 05 fi fracció igual e elevat a menys 0 coma 3 per t fi elevat 0 coma 1 igual e elevat a menys 0 coma 3 per t fi elevat espai espai a p l i q u e m espai ln espai a l s espai d o s espai m e m b r e s ln parèntesi esquerre 0 coma 1 parèntesi dret igual ln parèntesi esquerre e elevat a menys 0 coma 3 per t fi elevat parèntesi dret ln parèntesi esquerre 0 coma 1 parèntesi dret igual menys 0 coma 3 t fletxa dreta t igual menys fracció numerador ln parèntesi esquerre 0 coma 1 parèntesi dret entre denominador 0 coma 3 fi fracció quasi igual a 7 coma 67528 espai m i n quasi igual a 7 espai m espai i espai 40 espai s
S'aconsegueix un 10% de concentració de medicament a la sang transcorreguts uns 7 minuts i 40 segons aproximadament.

Anterior
Següent