Equilibri i màquines simples: Equilibri

2. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.
Hi han dos situacions:

Un cos sotmès a forces concurrents

Direm que un cos que té vàries forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

$Anfang Inline Stil Summe für leer von F mit rechtspfeil darüber gleich 0 Ende Stil$

Si les forces tenen la mateixa direcció, es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg.
Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions

Determineu la tensió T₁ i T₂ que fa cada cable si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T₁ i T₂ ha de donar una força igual a P i que el sistema és simètric per tant: T₁ = T₂

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T₁ sin 45 + T₂ sin 45 = 2T sin 45

T gleich Zähler P geteilt durch Nenner 2 Leerzeichen sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 147 Komma 2 geteilt durch Nenner 2 Leerzeichen sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich 104 Komma 1 Leerzeichen N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions

Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

Descomponem la força en les coordenades x, y i després es planteja l'equació d'equilibri per a cada direcció.

$gerade sigma groß F unterer Index Y gleich 0$
$gerade sigma groß F unterer Index X gleich 0$

equilibri

$T unterer Index A Y Ende unterer Index gleich P gleich Leerzeichen 616 Leerzeichen N$

Com tot és simètric:

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index D Y Ende unterer Index$
$T unterer Index C X Ende unterer Index gleich T unterer Index D X Ende unterer Index$

Per $gerade sigma groß F unterer Index Y gleich 0$

$T unterer Index A Y Ende unterer Index minus T unterer Index C Y Ende unterer Index minus T unterer Index D Y Ende unterer Index gleich 0$

$T unterer Index A Y Ende unterer Index minus 2 T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich 0$

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index A Y Ende unterer Index geteilt durch 2 gleich 616 geteilt durch 2 gleich 308 Leerzeichen N$

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index C Leerzeichen sin Leerzeichen 45$

$T unterer Index C gleich T unterer Index D gleich Zähler T unterer Index C Y Ende unterer Index geteilt durch Nenner sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 308 geteilt durch Nenner 0 Komma 7071 Bruchergebnis gleich 435 Komma 6 Leerzeichen N$

Un cos sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero $gerade sigma groß F gleich 0$ , també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero $gerade sigma groß M unterer Index O gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen F unterer Index 1 mal d unterer Index 1 plus Leerzeichen F unterer Index 2 mal d unterer Index 2 plus... plus Leerzeichen F unterer Index n mal d unterer Index n gleich 0$

Exemple de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la seva longitud és L =1 ,4 m i l’angle alfa és α = 45º. Determineu la força F_B que fa el tirant.

Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant F_B

- La força que fa el suport sobre l'articulació en A R_A.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

$gerade sigma groß M unterer Index A gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen$

Cal recordar el signe segons el sentit de gir. Positiu antihorari i negatiu horari.

F_B respecte a A és positiu.
P respecte a A és negatiu.
R_A no dóna moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

$R unterer Index A mal 0 minus P mal Klammer öffnen L geteilt durch 2 mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen plus F unterer Index B mal L mal sin Leerzeichen 45 gleich 0$

$F unterer Index B gleich Zähler P mal Klammer öffnen Anfang Anzeige Stil L geteilt durch 2 Ende Stil mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen geteilt durch Nenner L mal sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 1000 mal Klammer öffnen Anfang Anzeige Stil Zähler 1 Komma 4 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Ende Stil mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen geteilt durch Nenner 1 Komma 4 mal sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich 500 Leerzeichen N$

Per a calcular el valor de la força a R_A caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecta un altre punt.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

2. Equilibri