Previous
Next

4. Sistemes d'inequacions

4.3. Problema

Passos a seguir per resoldre un problema mitjançant un sistema d'inequacions:

- Llegir atentament l'enunciat.
- Escollir les incògnites.
- Traduir cada condició (o restricció) del problema en una inequació, obtenint un sistema d'inequacions.
-  Resoldre el sistema d'inequacions indicant la regió solució.
- Obtenir les solucions i comprovar-les.

Exemple

Disposem d'un màxim de 55€ i hem de comprar al menys 5 bolígrafs i 5 carpetes. Cada bolígraf costa 3€ i cada carpeta 5€. 
Troba totes les opcions de compra.   

Solució

bolígràfs:  x
carpetes:  y

open curly brackets table row cell bold 3 bold x bold plus bold 5 bold y bold less or equal than bold 55 end cell row cell bold x bold greater or equal than bold 5 end cell row cell bold y bold greater or equal than bold 5 end cell end table close

Hem de dibuixar, en uns mateixos eixos de coordenades,  les tres rectes  3x+5y=55,  x=5 (recta vertical) i y=5 (recta horitzontal) i
veure amb quin semiplà ens quedem.

La intersecció d'aquest semiplans és la regió solució.  En aquest cas és un triangle. 

els vèrtexs del qual són els punts d'intersecció de les rectes
dos a dos.

open table attributes columnalign right end attributes row cell 3 x plus 5 y equals 55 end cell row cell x equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow A left parenthesis 5 comma 8 right parenthesis space space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 3 x plus 5 y equals 55 end cell row cell y equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow C left parenthesis 10 comma 5 right parenthesis space space space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell x equals 5 end cell row cell y equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow A left parenthesis 5 comma 5 right parenthesis space space space space

      

Les solucions de x, y seran els punts (x,y) que es troben dins del triangle solució.

En general, per indicar la solució del sistema serà suficient amb marcar la regió solució en el dibuix.  

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En aquest cas hem d'afinar més si tenim en compte que, com que parlem de nombre de bolígrafs (x) i nombre de capetes (y),
les solucions han de ser nombres naturals:

Trobem els vèrtex de la regió solució. Són els punts d'intersecció de les rectes
dos a dos.

open table attributes columnalign right end attributes row cell 3 x plus 5 y equals 55 end cell row cell x equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow A left parenthesis 5 comma 8 right parenthesis space space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell 3 x plus 5 y equals 55 end cell row cell y equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow C left parenthesis 10 comma 5 right parenthesis space space space space space space space open table attributes columnalign right end attributes row cell x equals 5 end cell row cell y equals 5 end cell end table close curly brackets rightwards arrow B left parenthesis 5 comma 5 right parenthesis space space space space

Els punts amb coordenades enteres que estan en la regió solució són:

(5,5), (6,5), (7,5), (8,5), (9,5), (10,5)    5 carpetes i entre 5 i 10 bolígrafs
(5,6), (6,6), (7,6)                               6 carpetes i entre 5 i 7 bolígrafs
(5,7), (6,7)                                       7 carpetes i 5 o 6 bolígrafs
(5,8)                                                8 carpetes i 5 bolígrafs.   

Previous
Next