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CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció

Exercici:

Busqueu els extrems relatius, els punts de tall amb els eixos i feu una representació gràfica aproximada de la funció:  f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x puissance 4 moins x au carré


Resolució:

a) Dom f(x) = Reals, ja que és una funció polinòmica


b) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació:  f '(x) = 0

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x puissance 4 moins x au carré

f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 4 x au cube moins 2 x égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace 4 x au cube moins 2 x égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace x parenthèse gauche 4 x au carré moins 2 parenthèse droite égal à 0 double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x égal à 0 fin de cellule ligne cellule 4 x au carré moins 2 égal à 0 fin de cellule fin de tableau fin double flèche vers la droite double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x égal à 0 fin de cellule ligne cellule x au carré égal à 1 demi fin de cellule fin de tableau fin double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x égal à 0 fin de cellule ligne cellule x égal à plus ou moins début de racine carrée de 1 demi fin de racine égal à plus ou moins numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur racine carrée de 2 fin de la fraction égal à plus ou moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction asymptotiquement égal à plus ou moins 0 virgule 7 fin de cellule fin de tableau fin

Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims o punts d'inflexió.


f parenthèse gauche 0 parenthèse droite égal à 0 puissance 4 moins 0 au carré égal à 0 f ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse puissance 4 moins ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse au carré égal à 1 quart moins 1 demi égal à moins 1 quart f ouvrir la parenthèse moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse puissance 4 moins ouvrir la parenthèse moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fermer la parenthèse au carré égal à 1 quart moins 1 demi égal à moins 1 quart

Els tres punts són : 

  

ouvrir la parenthèse 0 virgule 0 fermer la parenthèse ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction virgule moins 1 quart fermer la parenthèse ouvrir la parenthèse moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction virgule moins 1 quart fermer la parenthèse


Intervals on estudiar el creixement parenthèse gauche moins infini virgule moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction parenthèse droite x égal à moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction parenthèse gauche moins numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction virgule espace 0 parenthèse droite x égal à 0   parenthèse gauche 0 virgule numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction parenthèse droite x égal à numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction    parenthèse gauche numérateur de la fraction racine carrée de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction virgule infini parenthèse droite
signe de f ' f ' (-1) = negatiu
f ' (-0,5) = positiu
  f ' (0,5) =negatiu     f ' (1) =positiu
creixement de f f decreix  mínim relatiu creix   màxim relatiu  decreix    mínim relatiu  creix

c) Punts de tall de la funció amb els eixos:

Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:
accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule y égal à x puissance 4 moins x au carré espace espace e q u a c i ó espace d e espace l a espace f u n c i ó fin de cellule ligne cellule y égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace e q u a c i ó espace d e espace l apostrophe e i x espace O X fin de cellule fin de tableau fin espace espace double flèche vers la droite espace espace x puissance 4 moins x au carré espace égal à 0 espace espace double flèche vers la droite espace x au carré fois parenthèse gauche x au carré moins 1 parenthèse droite espace égal à 0 espace espace double flèche vers la droite x égal à espace 0 espace espace espace espace espace espace i espace espace espace espace espace espace x au carré moins 1 espace égal à 0 espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace s o l u c i o n s espace accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x égal à espace 0 fin de cellule ligne cellule x égal à plus ou moins 1 fin de cellule fin de tableau fin P e r espace tan t espace e l s espace p u n t s espace d e espace t a l l espace a m b espace l apostrophe e i x espace O X espace s ó n deux points espace espace gras parenthèse gauche gras 0 gras virgule gras 0 gras parenthèse droite gras espace gras espace gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras virgule gras 0 gras parenthèse droite gras espace gras espace gras espace bold italic i gras espace gras espace gras parenthèse gauche gras 1 gras virgule gras 0 gras parenthèse droite

Podríem repetir el procés amb l'exi OY , però amb l'eix OY, només pot haver com a màxim 1 punt de tall i ja ens ha sortit en la part anterior, que és el punt  (0,0). Per tant no cal fer els punts de tall amb l'eix OY. En tot cas si es fa, sortirà com a únic punt el (0,0)

Amb totes aquestes dades la gràfica ens ha de sortir aquesta:

 

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