Previous
Next

CURVATURA D'UNA FUNCIÓ

Estudi complet d'una funció

Exercici:

Busqueu els extrems relatius, els punts de tall amb els eixos i feu una representació gràfica aproximada de la funció:  f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 4 minus x squared


Resolució:

a) Dom f(x) = Reals, ja que és una funció polinòmica


b) Extrems relatius. S'ha de resoldre l'equació:  f '(x) = 0

f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 4 minus x squared

f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 4 x cubed minus 2 x equals 0 space space space space space space space rightwards double arrow space space space space space 4 x cubed minus 2 x equals 0 space space space space rightwards double arrow space space space x left parenthesis 4 x squared minus 2 right parenthesis equals 0 rightwards double arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell 4 x squared minus 2 equals 0 end cell end table close rightwards double arrow rightwards double arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell x squared equals 1 half end cell end table close rightwards double arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell x equals plus-or-minus square root of 1 half end root equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction equals plus-or-minus fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction asymptotically equal to plus-or-minus 0 comma 7 end cell end table close

Falta calcular la imatge de cada un dels punts així com esbrinar si corresponen a màxims o mínims o punts d'inflexió.


f left parenthesis 0 right parenthesis equals 0 to the power of 4 minus 0 squared equals 0 f open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses equals open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses to the power of 4 minus open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses squared equals 1 fourth minus 1 half equals negative 1 fourth f open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses to the power of 4 minus open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses squared equals 1 fourth minus 1 half equals negative 1 fourth

Els tres punts són : 

  

open parentheses 0 comma 0 close parentheses open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction comma negative 1 fourth close parentheses open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction comma negative 1 fourth close parentheses


Intervals on estudiar el creixement left parenthesis negative infinity comma negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction right parenthesis x equals negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction left parenthesis negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction comma space 0 right parenthesis x equals 0   left parenthesis 0 comma fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction right parenthesis x equals fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction    left parenthesis fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction comma infinity right parenthesis
signe de f ' f ' (-1) = negatiu
f ' (-0,5) = positiu
  f ' (0,5) =negatiu     f ' (1) =positiu
creixement de f f decreix  mínim relatiu creix   màxim relatiu  decreix    mínim relatiu  creix

c) Punts de tall de la funció amb els eixos:

Cal resoldre els sistemes d'equacions següents:
open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals x to the power of 4 minus x squared space space e q u a c i ó space d e space l a space f u n c i ó end cell row cell y equals 0 space space space space space space space space space space space space space e q u a c i ó space d e space l apostrophe e i x space O X end cell end table close space space rightwards double arrow space space x to the power of 4 minus x squared space equals 0 space space rightwards double arrow space x squared times left parenthesis x squared minus 1 right parenthesis space equals 0 space space rightwards double arrow x equals space 0 space space space space space space i space space space space space space x squared minus 1 space equals 0 space space space rightwards double arrow space space space space space s o l u c i o n s space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals space 0 end cell row cell x equals plus-or-minus 1 end cell end table close P e r space tan t space e l s space p u n t s space d e space t a l l space a m b space l apostrophe e i x space O X space s ó n colon space space bold left parenthesis bold 0 bold comma bold 0 bold right parenthesis bold space bold space bold left parenthesis bold minus bold 1 bold comma bold 0 bold right parenthesis bold space bold space bold space bold italic i bold space bold space bold left parenthesis bold 1 bold comma bold 0 bold right parenthesis

Podríem repetir el procés amb l'exi OY , però amb l'eix OY, només pot haver com a màxim 1 punt de tall i ja ens ha sortit en la part anterior, que és el punt  (0,0). Per tant no cal fer els punts de tall amb l'eix OY. En tot cas si es fa, sortirà com a únic punt el (0,0)

Amb totes aquestes dades la gràfica ens ha de sortir aquesta:

 

Previous
Next