Dubtes freqüents d'Anàlisi I

Com trobar els intervals de monotonia d'una funció?

Per trobar els intervals de creixement i decreixement d'una funció i els seus extrems relatius cal seguir els següents passos:

1. Trobar el domini de la funció f(x). Els punts que no siguin del domini després els haurem de tenir en compte en el pas 4

2. Trobar la funció derivada f '(x)

3. Igualar la derivada a zero i resoldre aquesta equació. Amb aquest pas trobarem el valors de la x dels possibles extrems relatius

4. Col·loquem damunt la recta real els valors trobats en les passes 1 i 3 (valors de la x que no són del domini i possibles extrems relatius) de manera que la recta ens queda dividida en intervals.

5. Per a cada interval trobat cal comprovar se la funció és creixent o decreixent. Per això sols cal agafar un valor de x = x_o que estigui dins l'interval i substituir en la funció f '(x):

• • Si f '(x_o) >0 → la funció és creixent en l'interval
  • Si f '(x_o) <0 → la funció és creixent en l'interval

6. En funció del pas anterior decidir si els punts trobats en el pas 3 són màxim relatiu, mínim relatiu o cap de les dues coses.

7. Els punts que no són del domini mai poden ser ni màxim relatiu ni mínim relatiu. Són punts de discontinuïtat

Exemple 1 :

Anem a trobar els intervals de creixement, decreixement i els extrems relatius de la funció

1.

2.

3.

4. Col·loquem damunt la recta real els valors

Obtenim doncs els intervals:

5. Per a cada interval trobat agafem un valor de x = x_o que estigui dins l'interval i substituïm en la funció f '(x):

6. Els extrems relatius són:

7. En x=-1 i en x=1 hi ha discontinuïtats

Comprovem el resultat amb la gràfica de la funció: