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DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

Com trobar les derivades laterals

Com puc trobar les derivades laterals per un valor de x concret?

La major part de les derivades laterals les busquem en funcions definides a trossos i en els punts on hi ha un trencament de la funció.

Els passos a seguir són les següents:
1.- Buscar la funció f '(x) derivant cada expressió de cada tros i traient la condició d'igualtat ( si hi ha ≤ posem < i si hi ha ≥ hi posem >) ja que pot ser que en els punt de trencament no existeixi la derivada ja sigui perquè no és contínua o perquè les derivades laterals no coincideixen.

2.- Per fer les derivades laterals fem el límit de l'expressió derivada que correspongui.

Amb això ja tindríem les derivades laterals. Si a més a més aquestes derivades coincideixen i la funció és contínua en aquell punt llavors també serà derivable en aquest punt i podrem posar el "=" en la condició de f'(x) que correspongui.

Exemple 1:

Sigui la funció f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x au carré moins 3 x espace espace espace espace s i espace espace espace x inférieur ou égal à 2 fin de cellule ligne cellule 2 x espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin espace

Volem trobar f indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace espace espace espace i espace espace espace f indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule 2 x moins 3 espace espace espace s i espace espace espace x inférieur à 2 fin de cellule ligne cellule 2 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin

2.- Ara busquem f indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace espace espace espace i espace espace espace f indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace

f indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de 2 x moins 3 égal à cadre englobant espace espace 1 espace fin f indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de 2 égal à espace cadre englobant espace 2 espace espace fin espace

Ara ja hem acabat i el que veiem és que f(x) no és derivable en x=2 ja que les derivades laterals no coincideixen.

Per tant podem dir que la funció derivada de f(x) ve donada per l'expressió f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule 2 x moins 3 espace espace espace s i espace espace espace x inférieur à 2 fin de cellule ligne cellule 2 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin

Exemple 2:

Sigui la funció g parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x au carré moins x espace espace espace espace s i espace espace espace x inférieur ou égal à 2 fin de cellule ligne cellule 3 x moins 4 espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin espace

Volem trobar g indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace espace espace espace i espace espace espace g indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace

1.- Busquem l'expressió de f'(x) i posem < enlloc de ≤ (potser provisionalment)

g espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule 2 x moins 1 espace espace espace s i espace espace espace x inférieur à 2 fin de cellule ligne cellule 3 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin

2.- Ara busquem g indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace espace espace espace i espace espace espace g indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace

g indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de g espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de 2 x moins 1 égal à cadre englobant espace espace 3 espace fin g indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de g espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de 3 égal à espace cadre englobant espace 3 espace fin espace

Ara ja hem acabat de buscar les derivades laterals.

A part d'això el que veiem és que f(x) sí podria ser derivable en x=2 ja que les derivades laterals coincideixen.

Per poder dir que hi ha derivada en x=2 hauríem de mirar que sigui contínua que sí que ho és ja que :

1 flèche vers la droite g parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace e x i s t e i x espace i espace v a l espace 2 2 flèche vers la droite limite avec x flèche vers la droite 2 de g parenthèse gauche x parenthèse droite espace t a m b é espace e x i s t e i x espace i espace v a l espace t a m b é espace 2 espace j a espace q u e espace e l s espace l í m i t s espace l a t e r a l s espace c o i n c i d e i x e n espace espace espace espace espace espace début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de g parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de x au carré moins x égal à 4 moins 2 égal à 2 fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de g parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 2 de 3 x moins 4 égal à 6 moins 4 égal à 2 fin de cellule fin de tableau accolade fermée espace espace flèche vers la droite limite avec x flèche vers la droite 2 de g parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace 2

I per tant g apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à g indice moins apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace égal à espace g indice plus apostrophe parenthèse gauche 2 parenthèse droite espace égal à 3

Per tant podem dir que la funció derivada de g(x) ve donada per l'expressió g espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule 2 x moins 1 espace espace espace s i espace espace espace x inférieur ou égal à 2 fin de cellule ligne cellule 3 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace x supérieur à 2 fin de cellule fin de tableau fin(posem el "=" ja que existeix derivada en x=2)

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