Previous
Next

DISCONTINUÏTATS

Tipus de discontinuïtats

Com puc distingir entre els diferents tipus de discontinuïtat?

Hi ha tres tipus de discontinuïtat: evitable, de salt finit i de salt infinit o asimptòtica.

Per definició una funció és contínua en x=a si es compleixen les tres condicions següents:

1. space space space space space f left parenthesis a right parenthesis space e x i s t e i x 2. space space space space space limit as x rightwards arrow a of f left parenthesis x right parenthesis space e x i s t e i x 3. space space space space space limit as x rightwards arrow a of f left parenthesis x right parenthesis space equals f left parenthesis a right parenthesis

Depèn de la o les condicions que no es compleixin tindrem un tipus de discontinuïtat o un altre

Cas 1: Discontinuïtat evitable en x=a

El límit en x=a existeix i és finit (límits laterals coincideixen) però no coincideix amb la imatge f(a) ( ja sigui perquè no n’hi ha o bé perquè és un nombre diferent).

Exemple 1:

open table attributes columnalign right end attributes row cell open table attributes columnalign right end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 4 end cell row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 4 end cell end table close curly brackets rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of space f left parenthesis x right parenthesis equals 4 P e r ò space f left parenthesis 2 right parenthesis space n o space e x i s t e i x end cell row blank end table close curly brackets rightwards double arrow f left parenthesis x right parenthesis space t é space u n a space d i s c o n t i n u ï t a t space e v i t a b l e space e n space x equals 2

Exemple 2:

open table attributes columnalign right end attributes row cell open table attributes columnalign right end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 2 end cell row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 2 end cell end table close curly brackets rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of space f left parenthesis x right parenthesis equals 2 f left parenthesis 2 right parenthesis equals 3 space p e r ò space n o space c o i n c i d e i x space end cell row cell a m b space e l space l í m i t space space space space space space end cell end table close curly brackets rightwards double arrow f left parenthesis x right parenthesis space t é space u n a space d i s c o n t i n u ï t a t space e v i t a b l e space e n space x equals 2

Cas 2: Discontinuïtat de salt finit en x=a

El límit en x=a no existeix perquè els laterals són diferents . I a més són finits .

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 3:

open table attributes columnalign right end attributes row cell open table attributes columnalign right end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 4 end cell row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 1 end cell end table close curly brackets rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of space f left parenthesis x right parenthesis equals there does not exist f left parenthesis 2 right parenthesis equals 1 space end cell row blank end table close curly brackets rightwards double arrow f left parenthesis x right parenthesis space t é space u n a space d i s c o n t i n u ï t a t space d e space s a l t space f i n i t space e n space x equals 2

Cas 3: Discontinuïtat asimptòtica o de salt infinit en x=a

Un dels límits laterals en x=a o els dos dóna ∞

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 4:

open table attributes columnalign right end attributes row cell open table attributes columnalign right end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of space f left parenthesis x right parenthesis equals 2 end cell row cell limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of space f left parenthesis x right parenthesis equals plus infinity end cell end table close curly brackets rightwards arrow limit as x rightwards arrow 2 of space f left parenthesis x right parenthesis equals there does not exist f left parenthesis 2 right parenthesis equals 2 space end cell row blank end table close curly brackets rightwards double arrow f left parenthesis x right parenthesis space t é space u n a space d i s c o n t i n u ï t a t space a s i m p t ò t i c a space e n space x equals 2











Previous
Next