Anterior
Siguiente

DETERMINANTS

Determinants d'ordre >3

Encara que pràcticament ens limitarem als determinants d'ordre 2 i als d'ordre 3 (per Sarrus), explicarem com calcular determinants de qualsevol ordre.

Els determinants d'una matriu d'ordre més gran que 3 els hem de fer desenvolupant el determinant per una fila o columna.

El determinant és la suma dels productes dels elements d'una fila o columna multiplicada pels seus adjunts corresponents.

Exemple:

Calcular el determinant d ela matriu

A igual abrir paréntesis tabla fila celda menos 2 fin celda 0 1 2 fila 1 2 1 1 fila 3 1 2 0 fila celda menos 5 fin celda celda menos 1 fin celda 3 4 fin tabla cerrar paréntesis

abrir barra vertical A cerrar barra vertical igual abrir barra vertical tabla fila celda negrita menos negrita 2 fin celda negrita 0 negrita 1 negrita 2 fila 1 2 1 1 fila 3 1 2 0 fila celda menos 5 fin celda celda menos 1 fin celda 3 4 fin tabla cerrar barra vertical

Desenvolupem, per exemple, per la primera fila.

Hem d'agafar els menors complementaris de cada element de la primera fila:

Menor complementari de l'element a11 = -2 bold italic m subíndice negrita 11 negrita igual abrir barra vertical tabla fila negrita 2 negrita 1 negrita 1 fila negrita 1 negrita 2 negrita 0 fila celda negrita menos negrita 1 fin celda negrita 3 negrita 4 fin tabla cerrar barra vertical negrita igual negrita 17

Menor complementari de l'element a12 = 0 bold italic m subíndice negrita 12 negrita igual abrir barra vertical tabla fila negrita 1 negrita 1 negrita 1 fila negrita 3 negrita 2 negrita 0 fila celda negrita menos negrita 5 fin celda negrita 3 negrita 4 fin tabla cerrar barra vertical negrita igual negrita 15

Menor complementari de l'element a13 = 1 bold italic m subíndice negrita 13 negrita igual abrir barra vertical tabla fila negrita 1 negrita 2 negrita 1 fila negrita 3 negrita 1 negrita 0 fila celda negrita menos negrita 5 fin celda celda negrita menos negrita 1 fin celda negrita 4 fin tabla cerrar barra vertical negrita igual negrita menos negrita 18

Menor complementari de l'element a14 = 2 bold italic m subíndice negrita 14 negrita igual abrir barra vertical tabla fila negrita 1 negrita 2 negrita 1 fila negrita 3 negrita 1 negrita 2 fila celda negrita menos negrita 5 fin celda celda negrita menos negrita 1 fin celda negrita 3 fin tabla cerrar barra vertical negrita igual negrita menos negrita 31

Ara, formem els adjunts, que simplement és igual al menor complementari o canviat de signe.

Es fa canvi de signe o no segons la regla de signes alternats abrir barra vertical tabla fila negrita más negrita menos negrita más negrita menos fila menos más menos más fila más menos más menos fila menos más menos más fin tabla cerrar barra vertical

O sigui, els menors complementaris dels element de la primera fila són:

M11 = m11 = 17

M12 = - m12 = -15

M13 = m13 = -18

M14 = - m13 = - (-31) = 31

I ara ja simplement:

abrir barra vertical A cerrar barra vertical igual abrir barra vertical tabla fila celda menos 2 fin celda 0 1 2 fila 1 2 1 1 fila 3 1 2 0 fila celda menos 5 fin celda celda menos 1 fin celda 3 4 fin tabla cerrar barra vertical igual espacio menos 2 M subíndice 11 más 0 por M subíndice 12 más 1 por M subíndice 13 más 2 por M subíndice 14 igual menos 2 por 17 más 0 por paréntesis izquierdo menos 15 paréntesis derecho más 1 por paréntesis izquierdo menos 18 paréntesis derecho más 2 por 31 igual 10

Observacions:

- Aquest determinant ho hem calculat desenvolupant per la primera fila. Ho podríem haver fet amb qualsevol fila o columna (com a exercici ho podeu fer amb altra fila o columna i comprovar que us dóna el mateix).

- Aquest mètode serveix per calcular qualsevol determinant. també els d'ordre 3 però normalment els fem per Sarrus.

- Fixeu-vos en l'exerici que l'adjunt M12 no calia calcular-lo, ja que multipliquem per l'element 0. Aixó ens indica que serà més senzill (de càlcul) si agafem una fila o columna que tingui zeros (si la hi ha).

Anterior
Siguiente