Anterior
Siguiente

MATRIUS

Rang d'una matriu

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu

espacio espacio espacio espacio espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 3 5 fila 1 3 celda menos 8 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F1 - F2

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2.

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents.

A vegades es pot veure a ull, però normalment el que fem és esglaonar la matriu (amb combinacions lineals de les files fer zeros sota la diagonal) i llavors per veure el rang:

El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les.

Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu:

espacio espacio espacio espacio espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 2 3 5 fila 1 3 celda menos 8 fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio tabla fila blank fila celda menos 2 f subíndice 1 más f subíndice 2 espacio fin subíndice fin celda fila celda f subíndice 3 menos f subíndice 1 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 7 fila 0 1 celda menos 7 fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio espacio tabla fila blank fila blank fila celda f subíndice 3 más f subíndice 2 fin celda fin tabla espacio espacio espacio abrir paréntesis tabla fila 1 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 1 fin celda 7 fila 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio

Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang és 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El mètode de calcular el rang és general per qualsevol matriu sigui de l'ordre que sigui.

El procediemt és fer transformacions elementals pe esglaonar la matriu (obtenir zeros sota la diagonal) i contar el nombre de files no nul·les.

(també es pot fer veient els menors complementaris d'ordre més gran diferent de zero, però considero que en general és un mètode amb més dificultat)

Per exemple:

rang de la matriu abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila celda menos 1 fin celda 3 1 1 fila 2 2 0 1 fila 3 1 3 3 fila 0 2 4 3 fin tabla cerrar paréntesis

abrir paréntesis tabla fila negrita 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila celda menos 1 fin celda 3 1 1 fila 2 2 0 1 fila 3 1 3 3 fila 0 2 4 3 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 negrita 2 4 3 fila 0 4 celda menos 6 fin celda celda menos 3 fin celda fila 0 4 celda menos 6 fin celda celda menos 3 fin celda fila 0 2 4 3 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda negrita menos negrita 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 0 fila 0 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis

(he marcat en blau el que es diuen "els pivots", amb els que "fem zeros" les files de sota)

Aquesta matriu té rang 3

Altre exemple:

rang de la matriu abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila celda menos 1 fin celda 3 1 1 fila 2 2 0 1 fila 3 1 3 3 fila 0 2 4 0 fin tabla cerrar paréntesis

abrir paréntesis tabla fila negrita 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila celda menos 1 fin celda 3 1 1 fila 2 2 0 1 fila 3 1 3 3 fila 0 2 4 0 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 negrita 2 4 3 fila 0 4 celda menos 6 fin celda celda menos 3 fin celda fila 0 4 celda menos 6 fin celda celda menos 3 fin celda fila 0 2 4 0 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda negrita menos negrita 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 celda menos 3 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 0 fila 0 0 0 celda menos 3 fin celda fin tabla cerrar paréntesis

Ara fent un canvi de fila ja tindrem la matriu esglaonada:

abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 0 fila 0 0 0 celda menos 3 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha abrir paréntesis tabla fila 1 celda menos 1 fin celda 3 2 fila 0 2 4 3 fila 0 0 celda menos 14 fin celda celda menos 9 fin celda fila 0 0 0 celda menos 3 fin celda fila 0 0 0 0 fin tabla cerrar paréntesis

El rang de la matriu és 4

Anterior
Siguiente