Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA)

1. Moviment Rectilini Uniformement accelerat

Quan un cotxe es desplaça per la carretera és normal que no mantingui constant la velocitat. Si guanya velocitat (accelera) l’acceleració serà positiva i si perd velocitat (desaccelera, frena) l’acceleració serà negativa.

Anomenem moviment rectilini uniformement accelerat el moviment amb un trajectòria recta i amb una acceleració constant diferent de zero.

La unitat d'acceleració amb el S.I és m/s²

Si aïllem la velocitat, obtenim l'expressió de la velocitat per aquest tipus de moviment:

Amb aquesta equació podem saber la velocitat del mòbil en qualsevol moment, però ens falta l’equació de l'espai, que queda com:

Aïllant el temps de la primera equació i substituint-lo en la segona es pot trobar una equació molt útil també:

Base orientació per resoldre problemes

1. Analitzar la informació i seleccionar les dades

      1.1 Fer un esquema o un dibuix que representi el problema.

   1.2 Identificar les variables del procés: conegudes i desconegudes i s'escriuen ja amb el signe pertinent (Per exemple:  conegudes: t= 3000 ms, v_f= 5 m/s , v₀= 0 m/s, desconegudes: a?)

2. Adequar les unitats al sistema internacional (S.I.). 

3. Identificar i explicar el procés que té lloc. Apuntar les lleis que el governen i plantejar les equacions necessàries.

4.  Solucionar matemàticament les equacions.

5. Analitzar lògicament els resultats per detectar possibles errors o incoherències matemàtiques i  expressar la solució final amb claredat, tot indicant les unitats corresponents en SI. Fer una frase que inclogui la solució o emmarcar-lo.

Representació  gràfiques.

Gràfic acceleració-temps (a-t)

• Representem l'acceleració en l'eix d'ordenades (y) , ja que la considerem com a variable depenent; recordem que pot ser + o -.
• Representem el temps en l'eix d'abscisses (x) , ja que és la variable independent.

Com que l'acceleració es manté constant al llarg del temps, surt una línia horitzontal paral·lela a l'eix x.

Gràfic velocitat-temps (v-t)

• Representem la velocitat en l'eix d'ordenades (y) , ja que la considerem com a variable depenent; recordem que pot ser + o -.
• Representem el temps en l'eix d'abscisses (x) , ja que és la variable independent.

Gràfic posició-temps (x-t)

• Representem la posició en l'eix d'ordenades (y) , ja que la considerem com a variable depenent; recordem que pot ser + o -.
• Representem el temps en l'eix d'abscisses (x) , ja que és la variable independent.

Exemples

1. Un motorista, que es mou per una carretera rectilínia d'esquerra a dreta, augmenta la seva velocitat des de 18 km/h fins a 54 km/h en 20 s. Determina l'acceleració mitjana que experimenta i analitza el signe del resultat.

Dades

V₀=18 km/h

V= 54 km/h

Hem de treballar en m/s, unitat del Sistema Internacional, SI

Substituïm els valors de les velocitats i del temps a l’expressió de l’acceleració mitjana:

2. Un automòbil pot arribar, partint del repòs, a la velocitat de 100 km/h en 10,5 s. Si suposem que és un moviment rectilini uniformement accelerat, calculeu l'espai recorregut en aquest temps.

Dades

V₀=0 km/h

V= 100 km/h

t=10,5 s

Hem de treballar en m/s, unitat del Sistema Internacional, SI

Primer calculem l'acceleració

Després calculem l'espai:

X= X₀+ V₀ (t-t_o) + 1/2. a. (t-t_o) ²

X= 0+ 0. 10,5 + 1/2. 2,6. (10,5) ²

X= 0 + 0 + 0,5.2,6. (10,5)²= 143,3m

1.1. Simulació d'un MRUA

Clica en l' applet de sota en el qual es mostra un automòbil movent-se amb una acceleració constant. El panell de control verd conté quadres de text en els quals es poden modificar els Valors de la s posició inicial, la Velocitat inicial i l'acceleració (sense oblidar que es té que pressionar la tecla "Enter"). Utilitzant els botons de la part superior dreta pot tornar l'Automòbil a la seva posició inicial o aturar i reprendre la simulació. Sí es Selecciona l'opció " Animació lenta" , el moviment serà deu vegades més lent.

Tres rellotges digitals Indiquen el temps que transcorre des de l'inici. Tan aviat com l'automòbil atrapi respectivament les Barreres verda i vermella amb la seva defensa davantera , el rellotge corresponent s'aturarà. Les dues barreres no estan fixes es poden arrossegar mantenint pressionat el botó del ratolí.

Tres diagrames il·lustren el moviment del vehicle :

S posició x vs Temps t

Velocitat v vs Temps t

Acceleració 1 vs Temps t

1.2. Moviment vertical

El moviment vertical és el que segueixen els objectes que es mouen seguint la direcció vertical. És un cas particular de MRUA, tot i que en aquest cas l'acceleració és la gravetat ( amb la direcció vertical i sentit avall). El valor de la gravetat és 9,8 m/s².

Les fórmules seran les mateixes que amb el MRUA, però l'acceleració serà la gravetat, i en comptes de tenir desplaçaments a l'eix X, els tindrem a l'eix Y.

Agafarem com a conveni signe negatiu a tot el que baixa, per tant la gravetat serà g=-9,81 m/s².

La velocitat final es pot expressar com V_f o V

Exemple:

Deixem caure una pilota des d’una certa alçada amb velocitat inicial de 72Km/h. Arriba al terra al cap de 2 s. A quina velocitat arriba a terra?

a. Esquema

Dibuixem la situació (tot el que baixa és negatiu i tot el que puja és positiu).

y_f=0 m

y₀=? m

b.1 Identificar les variables del procés: conegudes i desconegudes i escriure-les amb el signe pertinent

Dades conegudes:

Temps final t= 2 s

Velocitat inicial V₀= - 72 km/h ( La velocitat és posa amb signe negatiu perquè va cap a baix)

g= - 9,8 m/s² (la gravetat sempre és una dada coneguda)

Incògnita : Velocitat final V?

b.2 Adequar les unitats al sistema internacional.

Passem la velocitat inicial al sistema internacional

V₀=- 72Km/h. 1000 m/1 Km. 1h/3600s = - 20 m/s

c. Identificar i explicar el procés que té lloc. Apuntar les lleis que el governen, tot plantejant les equacions necessàries

Per poder calcular la velocitat d’impacte hem d’esbrinar quina equació de les tres de MRUA hem d’utilitzar:

En el Moviment de caiguda lliure són les mateixes equacions que el MRUA canviant la a per la g ( g= -9,8 m/s²) , i la x per la y. Escrivim les equacions.

v = v₀ + g. t         (1)

y= (v² – v₀²) / 2g      (  2)

y = y_o + v_o. t + ½ g . t²    (3)

Com que ens demanen la velocitat final, l’equació que utilitzarem és la (1), ja que tenim totes les dades necessàries (Vo, g i t). No podem utilitzar la (2) i la (3) perquè ens falta la y.

v = v₀ + g. t

d. Solucionar matemàticament les equacions.

V = -20 m/s + ( -9,8 m/s² ). 2 s = -20 - 19,6 = -39,6 m/s

e. Analitzar lògicament els resultats per detectar possibles errors o incoherències matemàtiques i expressar la solució final amb claredat tot indicant les unitats corresponents en SI. Fer una frase que inclogui la solució.

El resultat és -39,6 m/s i és negatiu ja que el cos estava baixant. Correcte.