Resum geometria mètrica

5. Distància entre elements de l'espai

5.2. Distància de punt a pla

Distància d'un punt P a un pla

És la mínima distància des del punt P a un punt qualsevol del pla. Aquesta mínima distància s'obté amb el punt projecció perpendicular del punt P sobre el pla.

$P égal à parenthèse gauche p indice 1 virgule p indice 2 virgule p indice 3 parenthèse droite simple pi deux points espace Ax plus By plus Cz plus simple D égal à 0$

$cadre englobant espace simple d parenthèse gauche simple P virgule simple pi parenthèse droite égal à numérateur de la fraction barre verticale Ap indice 1 plus Bp indice 2 plus Cp indice 3 plus simple D barre verticale au-dessus du dénominateur début de racine carrée de simple A au carré plus simple B au carré plus simple C au carré fin de racine fin de la fraction espace fin$

Observacions:
- el valor absolut del numerador és per tal que sempre ens doni un nombre positiu.
- Si el punt és del pla, lògicament ens donarà que la distància es 0

Exemple 1
Trobeu la distància del punt P(-1,3,2) al pla

simple pi deux points espace 2 simple x moins simple y plus 3 simple z moins 5 égal à 0

P parenthèse gauche gras moins gras 1 virgule gras 3 virgule gras 2 parenthèse droite

En el numerador substituïm les coordenades del punt en l'equació del pla.

d parenthèse gauche P virgule simple pi parenthèse droite égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) 2 fois parenthèse gauche gras moins gras 1 parenthèse droite moins gras 3 plus 3 fois gras 2 moins 5 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 2 au carré plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 3 au carré fin de racine fin de la fraction égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) moins 4 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur racine carrée de 14 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 4 au-dessus du dénominateur racine carrée de 14 fin de la fraction presque égal à 1 virgule 07

Exemple 2